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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois III}
\end{center}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Extensions cycliques : th\'eorie d'Artin-Schreier}) --- Soit $\K$ un corps de caract\'eristique $p >0$.

\vspace{0.1cm} 1. Soit $a$ un \'el\'ement de $\K$ et soit $\Lr$ un corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\T^p - \T + a$ au-dessus de $\K$. D\'emontrer que l'application $$\mathbb{F}_p \times \Lr \rightarrow \Lr, \ \ (u,x) \mapsto x+u$$ induit un homomorphisme injectif du groupe de Galois de l'extension $\Lr/\K$ dans le groupe additif de $\mathbb{F}_p$. En d\'eduire que le polyn\^ome $\T^p - \T + a$ est soit irr\'eductible, soit scind\'e sur $\K$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit r\'eciproquement $\Lr/\K$ une extension finie galoisienne de groupe isomorphe \`a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et soit $\sigma$ un g\'en\'erateur de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$. \\
\indent (i) D\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement $x$ de $\Lr$ tel que $\sum_{n=0}^{p-1} \sigma^n(x) = 1$. \\
\indent (ii) Soit $\alpha = \sum_{n=0}^{p-1}n\sigma^n(x)$. V\'erifier que $\alpha \notin \K$ et $a = \alpha^p - \alpha \in \K$ puis en d\'eduire que $\Lr$ est un corps de d\'ecomposition du polyn\^ome irr\'eductible $\T^p - \T + a$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Un th\'eor\`eme de Galois}) --- Galois a d\'emontr\'e qu'une \'equation est r\'esoluble par radicaux si et seulement si toute racine s'exprime $\K$-rationnellement en fonction de deux quelconques d'entre-elles.

\vspace{0.1cm} 1. V\'erifier que l'ensemble $\mathfrak{B}_p$ des permutations de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de la forme $x \mapsto ax+b$, $a, b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, est un sous-groupe transitif et r\'esoluble de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ d'ordre $p(p-1)$. V\'erifier \'egalement qu'un \'el\'ement $x \mapsto ax+b$ de $\mathfrak{B}_p$ est d'ordre $p$ si et seulement si $a = 1$ et $b \neq 0$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit r\'eciproquement $\G$ un sous-groupe transitif et r\'esoluble du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. On consid\`ere une suite de composition $$(1) = \G_0 \lhd \G_1 \lhd \ldots \lhd \G_r=\G$$ de $\G$ \`a quotients cycliques d'ordre premier.  \\
\vspace{0.1cm} \indent (i) D\'emontrer que chacun des groupes $\G_1, \ldots, \G_r$ op\`ere transitivement sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ; en d\'eduire que $\G_1$ est engendr\'e par une permutation circulaire $\tau$. \\
\vspace{0.1cm} \indent (ii) V\'erifier qu'il existe une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ telle que $\sigma \G_2 \sigma^{-1} \subset \mathfrak{G}_p$. \\
\vspace{0.1cm} \indent (iii) En raisonnant par r\'ecurrence sur $r$, d\'emontrer que $\G_1$ est un sous-groupe distingu\'e de $\G$ et en d\'eduire que $\sigma\G \sigma^{-1}$ est un sous-groupe de $\mathfrak{B}_p$.

\vspace{0.1cm} Soit $\K$ un corps, soit $\rP \in \K[\T]$ un polyn\^ome irr\'eductible de degr\'e premier $p$ et soit $\Lr$ un corps de d\'ecomposition de $\rP$ ; on identifie le groupe de Galois de l'extension $\Lr/\K$ \`a un sous-groupe du groupe des permutations de l'ensemble des racines de $\rP$ dans $\Lr$.

\vspace{0.1cm} 3. Supposons qu'il existe deux racines distinctes $\alpha, \ \beta$ de $\rP$ dans $\Lr$ telles que $\Lr = \K(\alpha, \beta)$. \\
\indent (i) V\'erifier que $[\Lr : \K] \leq p(p-1)$. \\
\indent (ii) V\'erifier que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ contient une permutation circulaire d'ordre $p$ puis que deux telles permutations engendrent le m\^eme sous-groupe. \\
\indent (iii) D\'emontrer que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est r\'esoluble.

\vspace{0.1cm} 4. Supposons r\'eciproquement que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ soit r\'esoluble. D\'emontrer que l'on a $\Lr = \K(\alpha, \beta)$ pour toutes racines distinctes $\alpha, \ \beta$ de $\rP$ dans $\Lr$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Sp\'ecialisation du groupe de Galois}) --- I. Soient $\K$ un corps, $f \in \K[\T]$ un polyn\^ome et $\K'$ un corps de d\'ecomposition de $f$ au-dessus de $\K$ ; on note $\mathcal{R}$ l'ensemble des racines de $f$ dans $\K'$ et on identifie le groupe $\mathrm{Gal}(\K'/\K)$ \`a un sous-groupe du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$.

On introduit des ind\'etermin\'ees $\Y_{\xi}$, $\xi \in \mathcal{R}$, et on pose $$\Lr_{\sigma} = \sum_{\xi \in \mathcal{R}} \xi \Y_{\sigma^{-1}(\xi)}$$ pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})$.

1. V\'erifier que les polyn\^omes $$\Pi_f = \prod_{\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})} (\Y - \Lr_{\sigma}) \ \ \textrm{et} \ \ \Theta_f = \prod_{\sigma \in \mathrm{Gal}(\K'/\K)} (\Y - \Lr_{\sigma})$$ appartiennent tous deux \`a l'anneau $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$ et que $\Theta_f$ est un facteur irr\'eductible de $\Pi_f$. Quels sont tous les facteurs irr\'eductibles de $\Pi_f$ dans $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$?

2. V\'erifier que l'action naturelle du groupe $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ sur $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$  d\'efinie par $\tau(\Y) = \Y$ et $\tau(\Lr_{\sigma}) = \Lr_{\tau \sigma}$ permute les diff\'erents facteurs irr\'eductibles de $\Pi_{f}$ et d\'emontrer qu'une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})$ appartient au sous-groupe $\mathrm{Gal}(\K'/\K)$ si et seulement si $\sigma(\Theta_f)=\Theta_f$.

\vspace{0.2cm} II. Supposons que $\K$ soit le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels et que le polyn\^ome $f$ soit \emph{unitaire} et \`a coefficients entiers. 

1. V\'erifier que les polyn\^omes $\Pi_f$ et $\Theta_f$ sont \`a coefficients entiers.

2. Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $\mathrm{pgcd}(\rP, \rP') \in \mathbb{Z}$. On d\'esigne par $\mathcal{R}_p$ l'ensemble des racines du polyn\^ome s\'eparable $\overline{f} = f \ (\mathrm{mod} \ p) \in \mathbb{F}_p[\T]$ dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\mathbb{F}_p$.

\indent (i) D\'emontrer que, pour toute bijection $\varphi : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}_p$, la r\'eduction modulo $p$ du polyn\^ome $\Pi_f(\Y, (\Y_{\varphi(\xi)}))$ est polyn\^ome $\Pi_{\overline{f}}$. V\'erifier \'egalement que tout \'el\'ement de $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p)$ permute les r\'eductions des facteurs irr\'eductibles de $\Pi_f$. \\
\indent (ii) Une bijection $\varphi : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}_p$ sera dite \emph{admissible} si l'homomorphisme de groupes $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathcal{R}), \ \sigma \mapsto \varphi^{-1} \sigma \varphi$ envoie le groupe de Galois de l'extension $\mathbb{F}_p(\mathcal{R}_p)/\mathbb{F}_p$ sur un sous-groupe de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$. \\
D\'emontrer qu'il existe des bijections admissibles de $\mathcal{R}$ sur $\mathcal{R}_p$ et que deux quelconques d'entre-elles envoient le sous-groupe $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p(\mathcal{R}_p)/\mathbb{F}_p)$ de $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p)$ sur des sous-groupes conjugu\'es de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$.

\vspace{0.2cm} III. 1. Soit $f \in \mathbb{Z}[\T]$ un polyn\^ome unitaire de degr\'e $n$. On suppose qu'il existe trois nombres premiers $p_1, \ p_2$ et $p_3$ tels que \begin{itemize} \item le polyn\^ome $f \ (\mathrm{mod} \ p_1)$ soit irr\'eductible ; \item le polyn\^ome $f \ (\mathrm{mod} \ p_2)$ soit le produit d'un facteur irr\'eductible de degr\'e $2$ et d'un ou de deux facteur(s) irr\'eductible(s) de degr\'e impair dans $\mathbb{F}_{p_2}[\T]$ ; \item le polyn\^ome $f \ (\mathrm{mod} \ p_3)$ soit le produit d'un facteur lin\'eaire et d'un facteur irr\'eductible dans $\mathbb{F}_{p_3}[\T]$. \end{itemize}

D\'emontrer que le groupe de Galois $\G$ d'un corps de d\'ecomposition de $f$ au-dessus de $\mathbb{Q}$ est un sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_n$ contenant une transposition et un cycle de longueurs $n-1$ ; en d\'eduire que $\G = \mathfrak{S}_n$.

2. D\'eterminer les groupes de Galois des polyn\^omes $\T^5 - \T -1$ et $\T^7 - \T - 1$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{L'ubiquit\'e des groupes sym\'etriques comme groupes de Galois sur $\mathbb{Q}$}) --- Soit $n \geq 1$ un entier naturel. \'Etant donn\'e un entier naturel $\N \geq 1$, on note $\sigma_n(\N)$ le nombre des polyn\^omes unitaires $f \in \mathbb{Z}[\T]$ de degr\'e $n$ dont les coefficients sont major\'es par $\N$ en valeur absolue et dont le groupe de Galois est $\mathfrak{S}_n$. 

Suivant B.L. van der Waerden (\emph{Die Seltenheit der Gleichungen mit Affekt}, Mathematische Annalen \textbf{139} (1933)), cet exercice a pour objet d'\'etablir que la proportion $(2\N+1)^{-n}\sigma_n(\N)$ de ces polyn\^omes tend vers $1$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$.

1. \'Etant donn\'e un nombre premier $p \geq 3$, d\'enombrer les polyn\^omes unitaires de degr\'e $n$ dans $\mathbb{F}_p[\T]$ qui sont soit irr\'eductibles (\emph{type 1}), soit le produit d'un facteur irr\'eductible de degr\'e $2$ et d'un ou de deux facteur(s) irr\'eductible(s) de degr\'e impair (\emph{type 2}), soit le produit d'un facteur lin\'eaire et d'un facteur irr\'eductible (\emph{type 3}) ; v\'erifier qu'il y en a au moins $p^{n}/k(n)$, o\`u $k(n) = \max(8(n-2),2n)$.

2. On ordonne les nombres premiers $(p_i)_{i \geq 1}$ par ordre croissant et on note $r(\N)$ le plus grand entier $r$ tel que $\rP = p_1 \ldots p_r \leq \N$. Quel que soit $i \in \{1, 2\}$, v\'erifier qu'il y a au plus $$\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r} \rP^n$$ polyn\^omes unitaires et de degr\'e $n$ dans $\mathbb{Z}/\rP\mathbb{Z}[\T]$ dont la r\'eduction modulo chacun des nombres premiers $p_1, \ldots, p_r$ ne soit pas de type $i$.

3. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que l'on a $$\frac{\sigma_n (\N)}{(2N+1)^n} \geq 1 - 3\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r(\N)} \ \ \textrm{et donc} \ \ \lim_{\N} \frac{\sigma_n (\N)}{(2\N+1)^n} =1.$$

\end{document} 