Université Claude Bernard – Lyon 1 et École Normale Supérieure de Lyon Année 2007/2008 Unité d’enseignement : algèbre approfondie Examen partiel du 16 novembre 2007 Enseignant responsable : Bertrand RÉMY

Corrigé

Exercice A. 1) Il y a cinq classes de conjugaisons dans S_{4} : la classe de 1 (un élément), la classe des transpositions (6 éléments), la classe des produits de deux transpositions de support disjoints (3 éléments), la classe des 3-cycles (8 éléments) et la classe des 4-cycles (6 éléments).

2) Soit P l’ensemble des partitions de l’ensemble {1, 2, 3, 4} en paires d’entiers. Le groupe S_{4} opère naturellement par permutations sur P via σ({{a, b}, {c, d}}) = {{σ(a), σ(b)}, {σ(c), σ(d)}}; on définit ainsi un homomorphisme de groupes φ : S_{4} → S(P) qui est manifestement surjectif. Les éléments de S_{4} préservant la partition {{1, 2}, {3, 4}} ∈ P sont les huit permutations 1, (1, 2), (3, 4), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 3, 2, 4) et (1, 4, 2, 3) ; parmi celles-ci, seules 1, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4) et (1, 4)(2, 3) préservent toutes les partitions de {1, 2, 3, 4} en paires d’entiers. Comme (1, 2)(3, 4)(1, 3)(2, 4) = (1, 4)(2, 3), le noyau de φ est l’image de l’homomorphisme

ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ → S_{4}, (u, v) ↦ [(1, 2)(3, 4^{)}]^{u}[(1, 3)(2, 4)]^{v} = (1, 2)^{u}(3, 4)^{u}(1, 3)^{v}(2, 4)^{v}

et est donc isomorphe au groupe (ℤ/2ℤ)^{2}.

3) Toute représentation linéaire complexe ρ : S_{3} → GL(V) donne naturellement lieu à une représentation linéaire complexe ρ ∘ φ du groupe S_{4} et ρ est irréductible si et seulement si ρ ∘ φ est irréductible.

À isomorphisme près, on sait qu’il existe trois représentations complexes irréductibles de S_{3} : la représentation triviale 1, la signature ε_{2} et la représentation ρ_{2} de degré 2, obtenue en faisant agir S_{3} sur ℂ^{3} par permutation des coordonnées puis en considérant le plan d’équation z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0. Les caractères de ces trois représentations sont donnés par la table suivante :

1 ε_{2} ρ_{2}
1 1 1 2
t 1 −1 0
c 1 1 −1

dans laquelle t (resp. c_{3}) désigne la classe de conjugaison des transpositions (resp. des 3-cycles) dans S_{3}. Pour en déduire les caractères des trois représentations irréductibles de S_{4} correspondantes, il suffit d’observer que φ envoie une transposition (resp. un 4-cycle) sur une transposition et qu’elle envoie un 3-cycle sur un 3-cycle ; on obtient :

1 ε_{2} ∘ φ ρ_{2} ∘ φ
1 1 1 2
t 1 −1  0
tt′ 1  1  2
c_{3} 1  1  −1
c_{4} 1 −1  0

où t, tt′, c_{3} et c_{4} désignent respectivement les classes de conjugaison des transpositions, des produits de deux transpositions de supports disjoints, des 3-cycles et des 4-cycles dans S_{4}. La représentation ε_{2} ∘ φ est manifestement la signature ε_{3}.

4) Le groupe S_{4} ayant cinq classes de conjugaisons, il admet cinq représentations complexes irréductibles distinctes à isomorphisme près. Désignant par n_{1}, …, n_{5} les degrés respectifs de ces représentations,

24 = |S_{4}| = n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} + n_{4}^{2} + n_{5}^{2}

et donc

n_{4}^{2} + n_{5}^{2} = 24 − (1 + 1 + 4) = 18

en tenant compte des trois représentations déjà connues. Les deux dernières représentations sont par conséquent de degré 3.

5) On obtient naturellement une représentation ρ_{3} de degré 3 du groupe S_{4} en le faisant opérer sur ℂ^{4} par permutation des coordonnées puis en considérant l’hyperplan d’équation z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} = 0. On peut vérifier qu’il s’agit d’une représentation irréductible en explicitant son caractère χ : χ(1) = 3, χ(t) = 1, χ(tt′) = −1, χ(c_{3}) = 0 et χ(c_{4}) = −1, puis en calculant le carré de sa norme

||χ||^{2} = \frac{1}{24} ∑_{σ∈S_{4}} χ(σ)^{2} = \frac{1}{24}(χ(1)^{2} + 6χ(t)^{2} + 3χ(tt′)^{2} + 8χ(c_{3})^{2} + 6χ(c_{4})^{2}) = 1

dans l’espace des fonctions centrales sur S_{4}.

La représentation ρ_{3} ⊗ ε_{3} est également irréductible car

||χ_{ρ⊗ε_{3}}||^{2} = \frac{1}{24} ∑_{σ∈S_{4}}(χ(σ)ε_{3}(σ))^{2} = \frac{1}{24} ∑_{σ∈S_{4}} χ(σ)^{2} = ||χ||^{2} = 1.

5) Voici finalement la table des caractères de S_{4} :

1 ε_{3} ρ_{2} ∘ φ ρ_{3} ρ_{3} ⊗ ε_{3}
1 1 1  2  3  3
t 1 −1  0  1  −1
tt′ 1 1  2  −1  −1
c_{3} 1 1  −1  0  0
c_{4} 1 −1  0  −1  1

Exercice B. 1) 1.1. Par définition de l’automorphisme φ,

φ(T_{1}^{ν_{1}} … T_{n}^{ν_{n}}) = T_{1}^{ν_{1}+r^{2}ν_{2}+...+r^{n}ν_{n}} + ∑_{0≤p<ν_{1}+r^{2}ν_{2}+...+r^{n}ν_{n}} Q_{p,ν}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{p}

pour tout multi-indice ν ∈ ℕ^{n}. Vu la définition de r, les entiers ν_{1}+r^{2}ν_{2}+…+r^{n}ν_{n} et ν′_{1}+r^{2}ν′_{2}+…+r^{n}ν′_{n} associés à deux multi-indices ν, ν′ ∈ ℕ^{n} tels que a_{ν}, a_{ν′} ≠ 0 sont distincts ; il existe en particulier un unique multi-indice μ ∈ ℕ^{n} tel que a_{μ} ≠ 0 et

μ_{1} + r^{2}μ_{2} + … + r^{n}μ_{n} = max{ν_{1} + r^{2}ν_{2} + … + r^{n}ν_{n} | ν ∈ ℕ^{n} et a_{ν} ≠ 0} ≥ 1.

On obtient ainsi

φ(f) = ∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}φ(T_{1}^{ν_{1}} … T_{n}^{ν_{n}})
= ∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}(T_{1}^{ν_{1}+r^{2}ν_{2}+...+r^{n}ν_{n}} + ∑_{0≤p<ν_{1}+r^{2}ν_{2}+...+r^{n}ν_{n}} Q_{p,ν}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{p})

= αT_{1}^{N} + ∑_{p=0}^{N−1} Q_{p}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{p}

avec N = μ_{1} + r^{2}μ_{2} + … + r^{n}μ_{n} et α = a_{μ} ∈ k^{×}.

1.2. Si l’on applique l’automorphisme φ^{−1} à l’identité αT_{1}^{N} + ∑_{p=0}^{N−1} Q_{p}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{p} − φ(f) = 0, on obtient l’identité

αT_{1}^{N} + ∑_{p=0}^{N−1} Q_{p}(φ^{−1}(T_{2}), …, φ^{−1}(T_{n}))T_{1}^{p} − f = 0,

laquelle montre T_{1} est entier sur la sous-k-algèbre de k[T_{1}, …, T_{n}] engendrée par les polynômes f et x_{2} = φ^{−1}(T_{2}), …, x_{n} = φ^{−1}(T_{n}). Il est clair que les n éléments φ(f), T_{2}, …, T_{n−1} et T_{n} de k[T_{1}, …, T_{n}] sont algébriquement indépendants : étant donné un polynôme R ∈ k[Y_{1}, …, Y_{n}] écrit sous la forme R = ∑_{i=0}^{d} S_{i}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{i},

R(φ(f), T_{2}, …, T_{n}) = α^{d}T_{1}^{Nd} + ∑_{j=0}^{Nd−1} S′_{j}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{j}

et donc R = Q_{d} = … = Q_{0} = 0 si R(φ(f), T_{2}, …, T_{n}) = 0. Il suffit d’appliquer l’automorphisme φ^{−1} pour en déduire que les n éléments f, x_{2}, …, x_{n−1} et x_{n} de k[T_{1}, …, T_{n}] sont algébriquement indépendants.

1.3. Les images de T_{2}, …, T_{n} dans k[T_{1}, …, T_{n}]/(φ(f)) sont algébriquement indépendantes : il existerait sinon des polynômes non nuls R ∈ k[T_{2}, …, T_{n}] et Q ∈ k[T_{1}, …, T_{n}] tels que R(T_{2}, …, T_{n}) = φ(f)Q(T_{1}, …, T_{n}), ce qui clairement impossible si l’on considère les degrés de ces polynômes dans l’anneau k(T_{2}, …, T_{n})[T_{1}].

2) Soit A une k-algèbre de type fini non nulle et soit π : k[T_{1}, …, T_{n}] → A un k-homomorphisme surjectif, de noyau 𝔞 ≠ k[T_{1}, …, T_{n}]. Nous allons prouver, en raisonnant par récurrence sur n ≥ 1, qu’il existe un ensemble fini I et un k-homomorphisme injectif ι : k[(Y_{i})_{i∈I}] → A faisant de A un anneau entier sur k[(Y_{i})_{i∈I}].

– Cas n = 1. De deux choses l’une : si 𝔞 = 0, il suffit de poser I = {1} et ι(Y_{1}) = π(T_{1}) ; si 𝔞 ≠ 0, un polynôme non constant dans 𝔞 fournit une relation de dépendance intégrale pour π(T_{1}) sur k et l’anneau A est donc entier sur k, ce qui correspond au cas I = ∅.

– Supposons le résultat acquis pour n−1 ≥ 0. Si 𝔞 = 0, il suffit de poser I = {1, …, n} et ι(Y_{i}) = π(T_{i}) pour tout i ∈ I. Sinon, l’idéal 𝔞 contient un polynôme non constant f ; d’après la première question, il existe des éléments x_{2}, …, x_{n} de k[T_{1}, …, T_{n}] tels que f, x_{2}, …, x_{n} soient algébriquement indépendants sur k et tels que l’anneau k[T_{1}, …, T_{n}] soit entier sur k[f, x_{2}, …, x_{n}] ; l’anneau k[T_{1}, …, T_{n}]/𝔞 est alors entier sur l’anneau A′ = k[x_{2}, …, x_{n}]/(𝔞∩k[x_{2}, …, x_{n}]) et l’homomorphisme π induit donc un homomorphisme injectif π′ : A′ → A faisant de A un anneau entier sur A′. En vertu de l’hypothèse de récurrence, il existe un ensemble fini I et un k-homomorphisme injectif ι′ : k[Y_{i∈I}] → A′ tels que l’anneau A′ soit entier sur k[(Y_{i})_{i∈I}] ; l’anneau A est alors entier sur k[(Y_{i})_{i∈I}] via l’homomorphisme injectif ι = π′ ∘ ι′.

Exercice C. Observation préliminaire : étant données deux extensions \xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r]^{α} & P \ar[r]^{β} & M \ar[r] & 0}

et \xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r]^{α} & P′ \ar[r]^{β} & M \ar[r] & 0} de M par N, tout A-homomorphisme φ : P → P′ est automatiquement un isomorphisme en vertu du lemme des cinq.

1) En vertu de la commutativité du diagramme considéré, l’application A-linéaire

P′ ⊕ N → P′′ ⊕ M, (x, y) ↦ (w(x) + γ(y), β(x))

est à valeurs dans le sous-A-module v^{∗}P′′ et elle s’annule identiquement sur l’image de l’homomorphisme N′ → P′ ⊕ N, z ↦ (α(z), −u(z)) ; elle définit donc une application A-linéaire φ : u_{∗}P′ → v^{∗}P′′. Le diagramme

[figure: 0; N; α′; u_{∗}P′; β′; φ; M; 0; 0; N; γ′′; v^{∗}P′′; δ′′; M; 0]

est commutatif car, quels que soient x ∈ P′ et y ∈ N,

φ ∘ α′(y) = φ(0, y) = (γ(y), 0) = γ′′(y)

et

δ′′ ∘ φ(x, y) = δ′′(w(x) + γ(y), β(x)) = β(x) = β′(x, y).

Vu l’observation préliminiaire, cela établit que les deux extensions u_{∗}E′ et v^{∗}E′′ sont équivalentes. 2) Il suffit de considérer le A-module libre de base M

L = ⨁_{m∈M} Ae_{m}

ainsi que l’application A-linéaire π : L → M définie par π(e_{m}) = m pour tout m ∈ M ; il s’agit manifestement d’une surjection.

3) 3.1. Étant donnée une extension

E : \xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r]^{α} & P \ar[r]^{β} & M \ar[r] & 0,}

l’application p : L → M se relève en une application A-linéaire u′ : L → P car le A-module L est libre ; on a alors β ∘ u′ ∘ ι = p ∘ ι = 0, ce qui signifie que l’application u = u′ ∘ ι est à valeurs dans N, et l’on obtient ainsi un diagramme commutatif

[figure: 0; R; u; ι; L; p; u′; M; 0; 0; N; α; P; β; M; 0.]

En vertu de la question 1, les extensions E = id_{M}^{∗}E et u_{∗}E_{0} sont équivalentes et l’application

Hom_{A}(R, N) → Ext(M, N), u ↦ u_{∗}E_{0}

est par conséquent surjective.

Étant données des applications A-linéaires u ∈ Hom_{A}(R, N) et w ∈ Hom_{A}(L, N), la composée de l’application R → L ⊕ N, z ↦ (ι(z), −u(z)) par l’application

L ⊕ N → L ⊕ N, (x, y) ↦ (x, y − w(x))

est l’application R → L ⊕ N, z ↦ (ι(z), −(u + w ∘ ι)(z)), associée à l’élément u + w ∘ ι de Hom_{A}(R, N). Les extensions u_{∗}E_{0} et (u + w ∘ ι)_{∗}E_{0} sont par conséquent équivalentes.

Soient enfin u, v ∈ Hom_{A}(R, N) deux applications A-linéaires telles que les extensions u_{∗}E_{0} et v_{∗}E_{0} soient équivalentes. Désignant par u′ : L → u_{∗}L et v′ : L → v_{∗}L les applications A-linéaires canoniques, on dispose par hypothèse d’un isomorphisme de A-modules φ : u_{∗}L → v_{∗}L s’insérant dans un diagramme commutatif

[figure: 0; N; ι′; u_{∗}L; p′; φ; M; 0; 0; N; ι′; v_{∗}L; p′; M; 0.]

Les deux homomorphismes v′ et φ ∘ u′ de L dans v_{∗}L vérifiant

p′ ∘ v′ = p′ ∘ (φ ∘ u′) = p′ ∘ u′ = p,

il existe une application A-linéaire w ∈ Hom_{A}(L, N) telle φ ∘ u′ = v′ + ι′ ∘ w; comme (φ ∘ u′) ∘ ι = φ ∘ (ι′ ∘ u) = ι′ ∘ u, on en déduit l’identité

ι′ ∘ u = v′ ∘ ι + ι′ ∘ w ∘ ι = ι′ ∘ v + ι′ ∘ w ∘ ι

et donc

u = v + w ∘ ι

en vertu de l’injectivité de ι′.

Au terme de cette discussion, nous avons établi que l’application ι_{∗} : Hom_{A}(R, N) → Ext(M, N), u ↦ u_{∗}E_{0} réalise une bijection entre Hom_{A}(R, N)/Hom_{A}(L, N) et Ext(M, N).

3.2. L’application p′ : L → N ⊕ M, x ↦ (0, p(x)) s’insère dans un diagramme commutatif

[figure: 0; R; ι; 0; L; p′; p; M; 0; 0; N; N ⊕ M; M; 0]

et l’extension 0_{∗}E_{0} est donc équivalente à l’extension triviale.

3.3. On dispose par hypothèse de deux diagrammes commutatifs

[figure: 0; R; ι; u; L; p; φ; M; 0; 0; N; ι′; u_{∗}L; p′; M; 0; et; 0; R; ι; u′; L; p; ψ; M; 0; 0; N; ι′; u′_{∗}L; p′; M; 0.]

Puisque p′ ∘ φ = p′ ∘ ψ = p, l’application A-linéaire φ ⊕ ψ ⊕ p : L → u_{∗}L ⊕ u′_{∗}L ⊕ M est à valeurs dans le sous-module Δ^{∗}(u_{∗}L ⊕ u′_{∗}L) et elle s’insère dans le diagramme commutatif

[figure: 0; R; ι; u⊕u′; L; p; μ; M; 0; 0; N ⊕ N; ι′⊕ι′; Δ^{∗}(u_{∗}L ⊕ u′_{∗}L); p′′; M; 0.]

Le diagramme

[figure: 0; R; ι; u⊕u′; L; p; μ; M; 0; 0; N ⊕ N; ι′⊕ι′; ∇; Δ^{∗}(u_{∗}L ⊕ u′_{∗}L); p′′; M; 0; 0; N; ι′′; ∇_{∗}Δ^{∗}(u_{∗}L ⊕ u′_{∗}L); p′′; M; 0]

est commutatif car ses parties supérieure et inférieure le sont ; puisque ∇ ∘ (u ⊕ u′) = u + u′, nous en déduisons que les extensions ∇_{∗}Δ^{∗}(u_{∗}E_{0} ⊕ u′_{∗}E_{0}) et (u + u′)_{∗}E_{0} sont équivalentes.

3.4. L’application

μ : Ext(M, N) × Ext(M, N) → Ext(M, N), (E, E′) ↦ ∇_{∗}Δ^{∗}(E ⊕ E′)

s’identifie, via la bijection ι_{∗} de 3.1, à l’addition dans le groupe abélien Hom_{A}(R, N)/Hom_{A}(L, N) ; comme ι_{∗}(0) est la classe de l’extension triviale, cela prouve que μ définit sur Ext(M, N) une structure de groupe abélien dont l’élément neutre est la classe de l’extension triviale.

Quels que soient a ∈ A et u ∈ Hom_{A}(R, N), au = (aid_{N}) ∘ u et donc (au)_{∗}E_{0} = (aid_{N})_{∗}(u_{∗}E_{0}) ; en vertu de la question 3.1, il en découle que l’application A×Ext(M, N) → Ext(M, N), (a, E) ↦ (aid_{N})_{∗}E munit Ext(M, N) d’une structure de A-module.

En conclusion, nous avons établi qu’il existe une unique structure de A-module sur l’ensemble Ext(M, N) telle que, pour toute suite exacte de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & R \ar[r]^{ι} & L \ar[r]^{p} & M \ar[r] & 0}

avec L libre, l’application Hom_{A}(R, N)/Hom_{A}(L, N) → Ext(M, N) définie à la question 3.1 réalise un isomorphisme de A-modules.

4) Soit E_{0} : \xymatrix{0 \ar[r] & R \ar[r]^{ι} & L \ar[r]^{p} & M \ar[r] & 0} une suite exacte de A-modules avec L libre. Le foncteur Hom_{A}(L, .) est exact et l’on dispose ainsi d’un diagramme commutatif

\xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & Hom_{A}(M, N′) \ar[r] \ar[d] & Hom_{A}(M, N) \ar[r] \ar[d] & Hom_{A}(M, N′′) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & Hom_{A}(L, N′) \ar[r] \ar[d] & Hom_{A}(L, N) \ar[d] \ar[r] & Hom_{A}(L, N′′) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & Hom_{A}(R, N′) \ar[r] & Hom_{A}(R, N) \ar[r] & Hom_{A}(R, N′′)}

dont les colonnes et les lignes sont exactes. En appliquant le lemme du serpent, nous en déduisons une suite exacte longue de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{A}(M, N′) \ar[r]^{f_{∗}} & Hom_{A}(M, N) \ar[r]^{g_{∗}} & Hom_{A}(M, N′′) \ar[d]^{∂} \\  & Hom_{A}(R, N′′)/Hom_{A}(L, N′′) & Hom_{A}(R, N)/Hom_{A}(L, N) \ar[l]_{g_{∗}} & Hom_{A}(R, N′)/Hom_{A}(L, N′) \ar[l]_{f_{∗}}}

dans laquelle ∂ est l’homomorphisme envoyant u ∈ Hom_{A}(M, N′′) sur la classe de u′_{|R}, où u′ ∈ Hom_{A}(L, N) est un relèvement quelconque de l’homomorphisme u ∘ p : L → N′′.

4.1. Étant donné un homomorphisme u ∈ Hom_{A}(M, N′′), choisissons un relèvement u′ ∈ Hom_{A}(L, N) de u ∘ p et posons v = u′_{|R} ∈ Hom_{A}(R, N′). Vu le diagramme commutatif

\xymatrix{0 \ar[r] & R \ar[r] \ar[d]^{v} & L \ar[r] \ar[d]^{u′} & M \ar[r] \ar[d]^{u} & 0 \\ 0 \ar[r] & N′ \ar[r] & N \ar[r] & N′′ \ar[r] & 0,}

les extensions u^{∗}E_{0} et v_{∗}E_{0} sont équivalentes en vertu de la question 1 et cela signifie précisément que les applications δ et ∂ se correspondent via l’isomorphisme de A-modules Hom_{A}(R, N′)/Hom_{A}(L, N′) ˜→Ext(M, N′) construit à la question 3. Il en découle en particulier que l’application δ est A-linéaire.

4.2. Quelles que soient les applications u ∈ Hom_{A}(R, N′) et u′ ∈ Hom_{A}(R, N), (f ∘ u)_{∗}E_{0} = f_{∗}(u_{∗}E_{0}) et (g ∘ u′)_{∗}E_{0} = g_{∗}(u′_{∗}E_{0}). Le diagramme

\xymatrix{Hom_{A}(R, N′′) \ar[d] & Hom_{A}(R, N) \ar[d] \ar[l]_{g_{∗}} & Hom_{A}(R, N′) \ar[l]_{f_{∗}} \ar[d] \\ Ext(M, N′′) & Ext(M, N) \ar[l]_{g_{∗}} & Ext(M, N′), \ar[l]_{f_{∗}}}

dans lequel les flèches verticales sont les homomorphismes construits à la question 3, est donc commutatif et, vu la question précédente, la suite de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{A}(M, N′) \ar[r]^{f_{∗}} & Hom_{A}(M, N) \ar[r]^{g_{∗}} & Hom_{A}(M, N′′) \ar[d]^{∂} \\  & Ext(M, N′′) & Ext(M, N) \ar[l]_{g_{∗}} & Ext(M, N′) \ar[l]_{f_{∗}}}

est par conséquent exacte.

4.3. Lorsque l’anneau A est principal, le A-module R est libre — car tout sous-A-module d’un Amodule libre est libre — et le foncteur Hom_{A}(R, .) est donc exact. Il en découle que l’application g_{∗} : Hom_{A}(R, N) → Hom_{A}(R, N′′) est surjective et il en est par conséquent de même de l’application g_{∗} : Ext(M, N) → Ext(M, N′′).