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\begin{document}
\begin{flushleft} {\bf Universit\'e Claude Bernard -- Lyon 1 et \'Ecole Normale Sup\'erieure de Lyon

Ann\'ee 2007/2008

Unit\'e d'enseignement : alg\`ebre approfondie

Examen partiel du 16 novembre 2007}

Enseignant responsable : Bertrand R\'EMY

\end{flushleft}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\textsc{Corrig\'e}
\end{center}

\vskip15pt

\noindent {\bf Exercice A.} 1) Il y a cinq classes de conjugaisons dans $\mathcal{S}_4$ : la classe de $1$ (un \'el\'ement), la classe des transpositions ($6$ \'el\'ements), la classe des produits de deux transpositions de support disjoints ($3$ \'el\'ements), la classe des $3$-cycles ($8$ \'el\'ements) et la classe des $4$-cycles ($6$ \'el\'ements).

\vspace{0.1cm} 2) Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des partitions de l'ensemble $\{1,2,3,4\}$ en paires d'entiers. Le groupe $\mathcal{S}_4$ op\`ere naturellement par permutations sur $\mathcal{P}$ via $\sigma \big( \{\{a,b\}, \{c,d\}\}\big) = \{\{\sigma(a), \sigma(b)\}, \{\sigma(c), \sigma(d)\}\}$ ; on d\'efinit ainsi un homomorphisme de groupes $\varphi : \mathcal{S}_4 \rightarrow \mathcal{S}(\mathcal{P})$ qui est manifestement surjectif. Les \'el\'ements de $\mathcal{S}_4$ pr\'eservant la partition $\{\{1,2\}, \{3,4\}\} \in \mathcal{P}$ sont les huit permutations $1$, $(1,2)$, $(3,4)$, $(1,2)(3,4)$, $(1,3)(2,4)$, $(1,4)(2,3)$, $(1,3,2,4)$ et $(1,4,2,3)$ ; parmi celles-ci, seules $1$, $(1,2)(3,4)$, $(1,3)(2,4)$ et $(1,4)(2,3)$ pr\'eservent toutes les partitions de $\{1,2, 3, 4\}$ en paires d'entiers. Comme $(1,2)(3,4)(1,3)(2,4) = (1,4)(2,3)$, le noyau de $\varphi$ est l'image de l'homomorphisme $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \rightarrow \mathcal{S}_4, \ \ (u,v) \mapsto [(1,2)(3,4^)]^u[(1,3)(2,4)]^v=(1,2)^u(3,4)^u(1,3)^v(2,4)^v$$ et est donc isomorphe au groupe $\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2$.

\vspace{0.1cm} 3) Toute repr\'esentation lin\'eaire complexe $\rho : \mathcal{S}_3
\rightarrow \mathrm{GL}(V)$ donne naturellement lieu \`a une repr\'esentation lin\'eaire complexe $\rho \circ \varphi$ du groupe $\mathcal{S}_4$ et $\rho$ est irr\'eductible si et seulement si $\rho \circ \varphi$ est irr\'eductible.

\`A isomorphisme pr\`es, on sait qu'il existe trois repr\'esentations complexes irr\'eductibles de $\mathcal{S}_3$ : la repr\'esentation triviale $1$, la signature $\varepsilon_2$ et la repr\'esentation $\rho_2$ de degr\'e $2$, obtenue en faisant agir $\mathcal{S}_3$ sur $\mathbb{C}^3$ par permutation des coordonn\'ees puis en consid\'erant le plan d'\'equation $z_1+z_2+z_3 = 0$. Les caract\`eres de ces trois repr\'esentations sont donn\'es par la table suivante : \begin{center}\begin{tabular}[c]{|c|c|c|c|} \hline & $1$ & $\varepsilon_2$ & $\rho_2$ \\ \hline $1$ & $1$ & $1$ & $2$ \\ \hline $t$ & $1$ & $-1$ & $0$ \\ \hline $c$ & $1$ & $1$ & $-1$ \\ \hline \end{tabular}\end{center} dans laquelle $t$ (resp. $c_3$) d\'esigne la classe de conjugaison des transpositions (resp. des $3$-cycles) dans $\mathcal{S}_3$. Pour en d\'eduire les caract\`eres des trois repr\'esentations irr\'eductibles de $\mathcal{S}_4$ correspondantes, il suffit d'observer que $\varphi$ envoie une transposition (resp. un $4$-cycle) sur une transposition et qu'elle envoie un $3$-cycle sur un $3$-cycle ; on obtient : \begin{center}\begin{tabular}[c]{|c|c|c|c|} \hline & $1$ & $\varepsilon_2 \circ \varphi$ & $\rho_2 \circ \varphi$ \\ \hline $1$ & $1$ & $1$ & $2$ \\ \hline $t$ & $1$ & $-1$ & $0$ \\ \hline $tt'$ & $1$ & $1$ & $2$ \\ \hline $c_3$ & $1$ & $1$ & $-1$ \\ \hline $c_4$ & $1$ & $-1$ & $0$ \\ \hline \end{tabular}\end{center} o\`u $t$, $tt'$, $c_3$ et $c_4$ d\'esignent respectivement les classes de conjugaison des transpositions, des produits de deux transpositions de supports disjoints, des $3$-cycles et des $4$-cycles dans $\mathcal{S}_4$. La repr\'esentation $\varepsilon_2 \circ \varphi$ est manifestement la signature $\varepsilon_3$.

\vspace{0.1cm} 4) Le groupe $\mathcal{S}_4$ ayant cinq classes de conjugaisons, il admet cinq repr\'esentations complexes irr\'eductibles distinctes \`a isomorphisme pr\`es. D\'esignant par $n_1, \ldots, n_5$ les degr\'es respectifs de ces repr\'esentations, $$24 = |\mathcal{S}_4| = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2$$ et donc $$n_4^2 + n_5^2 = 24 - (1+1+4) = 18$$ en tenant compte des trois repr\'esentations d\'ej\`a connues. Les deux derni\`eres repr\'esentations sont par cons\'equent de degr\'e $3$.

\vspace{0.1cm} 5) On obtient naturellement une repr\'esentation $\rho_3$ de degr\'e $3$ du groupe $\mathcal{S}_4$ en le faisant op\'erer sur $\mathbb{C}^4$ par permutation des coordonn\'ees puis en consid\'erant l'hyperplan d'\'equation $z_1+z_2+z_3+z_4 = 0$. On peut v\'erifier qu'il s'agit d'une repr\'esentation irr\'eductible en explicitant son caract\`ere $\chi$ : $\chi(1) = 3$, $\chi(t) = 1$, $\chi(tt') = -1$, $\chi(c_3)=0$ et $\chi(c_4) = -1$, puis en calculant le carr\'e de sa norme $$||\chi||^2 = \frac{1}{24}\sum_{\sigma \in \mathcal{S}_4} \chi(\sigma)^2 = \frac{1}{24}(\chi(1)^2 + 6\chi(t)^2 + 3\chi(tt')^2 + 8\chi(c_3)^2 + 6\chi(c_4)^2) = 1$$ dans l'espace des fonctions centrales sur $\mathcal{S}_4$.

La repr\'esentation $\rho_3 \otimes \varepsilon_3$ est \'egalement irr\'eductible car $$||\chi_{\rho \otimes \varepsilon_3}||^2 = \frac{1}{24} \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_4} (\chi(\sigma) \varepsilon_3(\sigma))^2 = \frac{1}{24} \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_4} \chi(\sigma)^2 = ||\chi||^2 = 1.$$

\vspace{0.1cm} 5) Voici finalement la table des caract\`eres de $\mathcal{S}_4$ : \begin{center}\begin{tabular}[c]{|c|c|c|c|c|c|} \hline & $1$ & $\varepsilon_3$ & $\rho_2 \circ \varphi$ & $\rho_3$ & $\rho_3 \otimes \varepsilon_3$ \\ \hline $1$ & $1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $3$ \\ \hline $t$ & $1$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $-1$ \\ \hline $tt'$ & $1$ & $1$ & $2$ & $-1$ & $-1$ \\ \hline $c_3$ & $1$ & $1$ & $-1$ & $0$ & $0$ \\ \hline $c_4$ & $1$ & $-1$ & $0$ & $-1$ & $1$ \\ \hline \end{tabular}\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent {\bf Exercice B.} 1) 1.1. Par d\'efinition de l'automorphisme $\varphi$, $$\varphi(T_1^{\nu_1} \ldots T_n^{\nu_n}) = T_1^{\nu_1 + r^2\nu_2 + \ldots + r^n \nu_n} + \sum_{0 \leq p < \nu_1 + r^2\nu_2 + \ldots + r^n \nu_n} Q_{p, \nu}(T_2, \ldots, T_n)T_1^p$$ pour tout multi-indice $\nu \in \mathbb{N}^n$. Vu la d\'efinition de $r$, les entiers $\nu_1 + r^2 \nu_2 + \ldots + r^n\nu_n$ et $\nu'_1 + r^2 \nu'_2 + \ldots + r^n\nu'_n$ associ\'es \`a deux multi-indices $\nu, \nu' \in \mathbb{N}^n$ tels que $a_{\nu}, a_{\nu'} \neq 0$ sont \emph{distincts} ; il existe en particulier un unique multi-indice $\mu \in \mathbb{N}^n$ tel que $a_{\mu} \neq 0$ et $$\mu_1 + r^2 \mu_2 + \ldots + r^n \mu_n = \max \{\nu_1 + r^2\nu_2 + \ldots + r^n \nu_n \ | \ \nu \in \mathbb{N}^n \ \ \textrm{et} \ \ a_{\nu} \neq 0\} \geq 1.$$ On obtient ainsi \begin{eqnarray*} \varphi(f) & = & \sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} a_{\nu} \varphi(T_1^{\nu_1} \ldots T_n^{\nu_n}) \\ & = & \sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} a_{\nu} (T_1^{\nu_1+ r^2\nu_2 + \ldots + r^n \nu_n} + \sum_{0 \leq p < \nu_1+ r^2\nu_2 + \ldots + r^n \nu_n} Q_{p,\nu}(T_2, \ldots, T_n) T_1^p) \\ & = & \alpha T_1^{N} + \sum_{p = 0}^{N-1} Q_p(T_2, \ldots, T_n) T_1^p \end{eqnarray*} avec $N = \mu_1 + r^2 \mu_2 + \ldots + r^n \mu_n$ et $\alpha = a_{\mu} \in k^{\times}$.

\vspace{0.1cm} 1.2. Si l'on applique l'automorphisme $\varphi^{-1}$ \`a l'identit\'e $\alpha T_1^{N} + \sum_{p=0}^{N-1} Q_p(T_2, \ldots, T_n)T_1^p - \varphi(f) = 0$, on obtient l'identit\'e $$\alpha T_1^{N} + \sum_{p=0}^{N-1} Q_p(\varphi^{-1}(T_2), \ldots, \varphi^{-1}(T_n)) T_1^p - f=0,$$ laquelle montre $T_1$ est entier sur la sous-$k$-alg\`ebre de $k[T_1, \ldots, T_n]$ engendr\'ee par les polyn\^omes $f$ et $x_2 = \varphi^{-1}(T_2), \ldots, x_n = \varphi^{-1}(T_n)$. Il est clair que les $n$ \'el\'ements $\varphi(f)$, $T_2, \ldots, T_{n-1}$ et $T_n$ de $k[T_1, \ldots, T_n]$ sont alg\'ebriquement ind\'ependants : \'etant donn\'e un polyn\^ome $R \in k[Y_1, \ldots, Y_n]$ \'ecrit sous la forme $R = \sum_{i=0}^{d} S_i(T_2, \ldots, T_n)T_1^i$, $$R(\varphi(f), T_2, \ldots, T_n) = \alpha^d T_1^{Nd} + \sum_{j = 0}^{Nd - 1} S'_j(T_2, \ldots, T_n) T_1^j$$ et donc $R=Q_d = \ldots = Q_0 = 0$ si $R(\varphi(f), T_2, \ldots, T_n) = 0$. Il suffit d'appliquer l'automorphisme $\varphi^{-1}$ pour en d\'eduire que les $n$ \'el\'ements $f, x_2, \ldots, x_{n-1}$ et $x_n$ de $k[T_1, \ldots, T_n]$ sont alg\'ebriquement ind\'ependants.

\vspace{0.1cm} 1.3. Les images de $T_2, \ldots, T_n$ dans $k[T_1, \ldots, T_n]/(\varphi(f))$ sont alg\'ebriquement ind\'ependantes : il existerait sinon des polyn\^omes non nuls $R \in k[T_2, \ldots, T_n]$ et $Q \in k[T_1, \ldots, T_n]$ tels que $R(T_2, \ldots, T_n) = \varphi(f) Q(T_1, \ldots, T_n)$, ce qui clairement impossible si l'on consid\`ere les degr\'es de ces polyn\^omes dans l'anneau $k(T_2, \ldots, T_n)[T_1]$.

\vspace{0.1cm} 2) Soit $A$ une $k$-alg\`ebre de type fini non nulle et soit $\pi : k[T_1, \ldots, T_n] \rightarrow A$ un $k$-homomorphisme surjectif, de noyau $\mathfrak{a} \neq k[T_1, \ldots, T_n]$. Nous allons prouver, en raisonnant par r\'ecurrence sur $n \geq 1$, qu'il existe un ensemble fini $I$ et un $k$-homomorphisme injectif $\iota : k[(Y_i)_{i \in I}] \rightarrow A$ faisant de $A$ un anneau entier sur $k[(Y_i)_{i \in I}]$.

\begin{itemize} \item Cas $n=1$. De deux choses l'une : si $\mathfrak{a} = 0$, il suffit de poser $I = \{1\}$ et $\iota(Y_1)= \pi(T_1)$ ; si $\mathfrak{a} \neq 0$, un polyn\^ome non constant dans $\mathfrak{a}$ fournit une relation de d\'ependance int\'egrale pour $\pi(T_1)$ sur $k$ et l'anneau $A$ est donc entier sur $k$, ce qui correspond au cas $I = \emptyset$.
\item Supposons le r\'esultat acquis pour $n-1 \geq 0$. Si $\mathfrak{a} = 0$, il suffit de poser $I = \{1, \ldots, n\}$ et $\iota(Y_i) = \pi(T_i)$ pour tout $i \in I$. Sinon, l'id\'eal $\mathfrak{a}$ contient un polyn\^ome non constant $f$ ; d'apr\`es la premi\`ere question, il existe des \'el\'ements $x_2, \ldots, x_n$ de $k[T_1, \ldots, T_n]$ tels que $f$, $x_2, \ldots, x_n$ soient alg\'ebriquement ind\'ependants sur $k$ et tels que l'anneau $k[T_1, \ldots, T_n]$ soit entier sur $k[f,x_2, \ldots, x_n]$ ; l'anneau $k[T_1, \ldots, T_n]/\mathfrak{a}$ est alors entier sur l'anneau $A' = k[x_2, \ldots, x_n]/(\mathfrak{a} \cap k[x_2, \ldots, x_n])$ et l'homomorphisme $\pi$ induit donc un homomorphisme injectif $\pi' : A' \rightarrow A$ faisant de $A$ un anneau entier sur $A'$. En vertu de l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe un ensemble fini $I$ et un $k$-homomorphisme injectif $\iota' : k[Y_{i \in I}] \rightarrow A'$ tels que l'anneau $A'$ soit entier sur $k[(Y_i)_{i \in I}]$ ; l'anneau $A$ est alors entier sur $k[(Y_i)_{i \in I}]$ via l'homomorphisme injectif $\iota = \pi' \circ \iota'$. \end{itemize}

\vspace{0.5cm} \noindent {\bf Exercice C.} \emph{Observation pr\'eliminaire : \'etant donn\'ees deux extensions $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\alpha} & P \ar@{->}[r]^{\beta} & M \ar@{->}[r] & 0}$ et $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\alpha} & P' \ar@{->}[r]^{\beta} & M \ar@{->}[r] & 0}$ de $M$ par $N$, tout $A$-homomorphisme $\varphi : P \rightarrow P'$ est automatiquement un isomorphisme en vertu du lemme des cinq.}

\vspace{0.1cm} 1) En vertu de la commutativit\'e du diagramme consid\'er\'e, l'application $A$-lin\'eaire $$P' \oplus N \rightarrow P'' \oplus M, \ \ (x,y) \mapsto (w(x)+\gamma(y), \beta(x))$$ est \`a valeurs dans le sous-$A$-module $v^{*}P''$ et elle s'annule identiquement sur l'image de l'homomorphisme $N' \rightarrow P' \oplus N, \  z \mapsto (\alpha(z),-u(z))$ ; elle d\'efinit donc une application $A$-lin\'eaire $\varphi : u_{*}P' \rightarrow v^{*}P''$. Le diagramme $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{=}[d] \ar@{->}[r]^{\alpha'} & u_* P' \ar@{->}[r]^{\beta'} \ar@{->}[d]^{\varphi} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]_{\gamma''} & v^* P'' \ar@{->}[r]_{\delta''} & M \ar@{->}[r] & 0 }$$ est commutatif car, quels que soient $x \in P'$ et $y \in N$, $$\varphi \circ \alpha' (y) = \varphi (0,y) = (\gamma(y),0) = \gamma''(y)$$ et $$\delta'' \circ \varphi (x,y) = \delta'' (w(x)+\gamma(y), \beta(x)) = \beta(x) = \beta'(x,y).$$ Vu l'observation pr\'eliminiaire, cela \'etablit que les deux extensions $u_*E'$ et $v^*E''$ sont \'equivalentes.

\vspace{0.1cm} 2) Il suffit de consid\'erer le $A$-module libre de base $M$ $$L = \bigoplus_{m \in M} A e_m$$ ainsi que l'application $A$-lin\'eaire $\pi : L \rightarrow M$ d\'efinie par $\pi(e_m) = m$ pour tout $m \in M$ ; il s'agit manifestement d'une surjection.

\vspace{0.1cm} 3) 3.1. \'Etant donn\'ee une extension $$E \ :\ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\alpha} & P \ar@{->}[r]^{\beta} & M \ar@{->}[r] & 0,}$$ l'application $p : L \rightarrow M$ se rel\`eve en une application $A$-lin\'eaire $u' : L \rightarrow P$ car le $A$-module $L$ est libre ; on a alors $\beta \circ u' \circ \iota = p \circ \iota = 0$, ce qui signifie que l'application $u = u' \circ \iota$ est \`a valeurs dans $N$, et l'on obtient ainsi un diagramme commutatif $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[d]^{u} \ar@{->}[r]^{\iota} & L \ar@{->}[r]^{p} \ar@{->}[d]^{u'} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]_{\alpha} & P \ar@{->}[r]_{\beta} & M \ar@{->}[r] & 0. }$$ En vertu de la question 1, les extensions $E = {\mathrm{id}_{M}}^{*}E$ et $u_* E_0$ sont \'equivalentes et l'application $$\mathrm{Hom}_{A}(R,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N), \ \ u \mapsto u_* E_0$$ est par cons\'equent \emph{surjective}.

\'Etant donn\'ees des applications $A$-lin\'eaires $u \in \mathrm{Hom}_{A}(R,N)$ et $w \in \mathrm{Hom}_A(L,N)$, la compos\'ee de l'application $R \rightarrow L \oplus N, \ z \mapsto (\iota(z), -u(z))$ par l'application $$L \oplus N \rightarrow L \oplus N, \ \ (x,y) \mapsto (x, y - w(x))$$ est l'application $R \rightarrow L \oplus N, \ z \mapsto (\iota(z), -(u + w \circ \iota)(z))$, associ\'ee \`a l'\'el\'ement $u + w \circ \iota$ de $\mathrm{Hom}_{A}(R,N)$. Les extensions $u_*E_0$ et $(u+w\circ \iota)_*E_0$ sont par cons\'equent \'equivalentes.

Soient enfin $u, v \in \mathrm{Hom}_{A}(R,N)$ deux applications $A$-lin\'eaires telles que les extensions $u_*E_0$ et $v_* E_0$ soient \'equivalentes. D\'esignant par $u' : L \rightarrow u_*L$ et $v' : L \rightarrow v_*L$ les applications $A$-lin\'eaires canoniques, on dispose par hypoth\`ese d'un isomorphisme de $A$-modules $\varphi : u_*L \rightarrow v_*L$ s'ins\'erant dans un diagramme commutatif $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{=}[d] \ar@{->}[r]^{\iota'} & u_*L \ar@{->}[r]^{p'} \ar@{->}[d]^{\varphi} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]_{\iota'} & v_*L \ar@{->}[r]_{p'} & M \ar@{->}[r] & 0. }$$ Les deux homomorphismes $v'$ et $\varphi \circ u'$ de $L$ dans $v_*L$ v\'erifiant $$p' \circ v' = p' \circ (\varphi \circ u') = p' \circ u' = p,$$ il existe une application $A$-lin\'eaire $w \in \mathrm{Hom}_{A}(L,N)$ telle $\varphi \circ u' = v' + \iota' \circ w$ ; comme $(\varphi \circ u') \circ \iota = \varphi \circ (\iota' \circ u) = \iota' \circ u$, on en d\'eduit l'identit\'e $$\iota' \circ u = v' \circ \iota + \iota' \circ w \circ \iota = \iota' \circ v + \iota' \circ w \circ \iota$$ et donc $$u = v + w \circ \iota$$ en vertu de l'injectivit\'e de $\iota'$.

\vspace{0.1cm} Au terme de cette discussion, nous avons \'etabli que l'application $\iota_* : \mathrm{Hom}_{A}(R,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N), \ u \mapsto u_* E_0$ r\'ealise une bijection entre $\mathrm{Hom}_A(R,N)/\mathrm{Hom}_A(L,N)$ et $\mathrm{Ext}(M,N)$.

3.2. L'application $p' : L \rightarrow N \oplus M, \ x \mapsto (0,p(x))$ s'ins\`ere dans un diagramme commutatif $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^{\iota} \ar@{->}[d]^0 & L \ar@{->}[d]^{p'} \ar@{->}[r]^{p} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r] & N \oplus M \ar@{->}[r] & M \ar@{->}[r] & 0}$$ et l'extension $0_*E_0$ est donc \'equivalente \`a l'extension triviale.

3.3. On dispose par hypoth\`ese de deux diagrammes commutatifs $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^{\iota} \ar@{->}[d]^{u} & L \ar@{->}[r]^p \ar@{->}[d]^{\varphi} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\iota'} & u_* L \ar@{->}[r]^{p'} & M \ar@{->}[r] & 0} \ \ \textrm{et} \ \ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^{\iota} \ar@{->}[d]^{u'} & L \ar@{->}[r]^p \ar@{->}[d]^{\psi} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\iota'} &u'_* L \ar@{->}[r]^{p'} & M \ar@{->}[r] & 0.}$$ Puisque $p' \circ \varphi = p' \circ \psi = p$, l'application $A$-lin\'eaire $\varphi \oplus \psi \oplus p : L \rightarrow u_*L \oplus u'_*L \oplus M$ est \`a valeurs dans le sous-module $\Delta^*(u_*L \oplus u'_*L)$ et elle s'ins\`ere dans le diagramme commutatif $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^{\iota} \ar@{->}[d]^{u \oplus u'} & L \ar@{->}[r]^p \ar@{->}[d]^{\mu} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \oplus N \ar@{->}[r]^{\iota' \oplus \iota' \hspace{0.5cm}} & \Delta^*(u_* L \oplus u'_*L) \ar@{->}[r]^{\hspace{0.5cm} p''} & M \ar@{->}[r] & 0.}$$ Le diagramme $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^{\iota} \ar@{->}[d]^{u \oplus u'} & L \ar@{->}[r]^p \ar@{->}[d]^{\mu} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \oplus N \ar@{->}[r]^{\iota' \oplus \iota' \hspace{0.5cm}} \ar@{->}[d]^{\nabla} & \Delta^*(u_* L \oplus u'_*L) \ar@{->}[r]^{\hspace{0.5cm} p''} \ar@{->}[d] & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\iota'' \hspace{1.1cm}} & \nabla_*\Delta^*(u_*L \oplus u'_*L) \ar@{->}[r]^{\hspace{1.1cm} p''} & M \ar@{->}[r] & 0}$$ est commutatif car ses parties sup\'erieure et inf\'erieure le sont ; puisque $\nabla \circ (u \oplus u') = u + u'$, nous en d\'eduisons que les extensions $\nabla_*\Delta^*(u_*E_0 \oplus u'_*E_0)$ et $(u+u')_*E_0$ sont \'equivalentes.

3.4. L'application $$\mu : \mathrm{Ext}(M,N) \times \mathrm{Ext}(M,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N), \ \ (E,E') \mapsto \nabla_*\Delta^*(E \oplus E')$$ s'identifie, via la bijection $\iota_*$ de 3.1, \`a l'addition dans le groupe ab\'elien $\mathrm{Hom}_{A}(R,N)/\mathrm{Hom}_{A}(L,N)$ ; comme $\iota_*(0)$ est la classe de l'extension triviale, cela prouve que $\mu$ d\'efinit sur $\mathrm{Ext}(M,N)$ une structure de groupe ab\'elien dont l'\'el\'ement neutre est la classe de l'extension triviale.

Quels que soient $a \in A$ et $u \in \mathrm{Hom}_{A}(R,N)$, $au  = (a\mathrm{id}_N) \circ u$ et donc $(au)_{*}E_0 = (a\mathrm{id}_{N})_* (u_*E_0)$ ; en vertu de la question 3.1, il en d\'ecoule que l'application $A \times \mathrm{Ext}(M,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N), \ \ (a,E) \mapsto (a\mathrm{id}_{N})_*E$ munit $\mathrm{Ext}(M,N)$ d'une structure de $A$-module.

En conclusion, nous avons \'etabli qu'il existe une unique structure de $A$-module sur l'ensemble $\mathrm{Ext}(M,N)$ telle que, pour toute suite exacte de $A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^\iota & L \ar@{->}[r]^p & M \ar@{->}[r] & 0}$$ avec $L$ libre, l'application $\mathrm{Hom}_A(R,N)/\mathrm{Hom}_A(L,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N)$ d\'efinie \`a la question 3.1 r\'ealise un isomorphisme de $A$-modules.

\vspace{0.1cm} 4) Soit $E_0 \ : \ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^\iota & L \ar@{->}[r]^p & M \ar@{->}[r] & 0}$ une suite exacte de $A$-modules avec $L$ libre. Le foncteur $\mathrm{Hom}_A(L,.)$ est exact et l'on dispose ainsi d'un diagramme commutatif $$\xymatrix{& 0 \ar@{->}[d] & 0 \ar@{->}[d] & 0 \ar@{->}[d] & \\ 0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(M,N') \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \mathrm{Hom}_{A}(M,N) \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \mathrm{Hom}_A(M,N'') \ar@{->}[d] &  \\ 0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{A}(L,N') \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \mathrm{Hom}_{A}(L,N) \ar@{->}[d] \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(L,N'') \ar@{->}[d] \ar@{->}[r] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(R,N') \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(R,N) \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(R, N'')& }$$ dont les colonnes et les lignes sont exactes. En appliquant le lemme du serpent, nous en d\'eduisons une suite exacte longue de $A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(M,N') \ar@{->}[r]^{f_*} & \mathrm{Hom}_A(M,N) \ar@{->}[r]^{g_*} & \mathrm{Hom}_A(M,N'') \ar@{->}[d]^{\partial} \\ & \mathrm{Hom}_A(R,N'')/\mathrm{Hom}_A(L,N'') & \mathrm{Hom}_{A}(R,N)/\mathrm{Hom}_A(L,N) \ar@{->}[l]_{g_*} & \mathrm{Hom}_A(R,N')/\mathrm{Hom}_A(L,N') \ar@{->}[l]_{f_*} }$$ dans laquelle $\partial$ est l'homomorphisme envoyant $u \in \mathrm{Hom}_A(M,N'')$ sur la classe de $u'_{|R}$, o\`u $u' \in \mathrm{Hom}_{A}(L,N)$ est un rel\`evement quelconque de l'homomorphisme $u \circ p : L \rightarrow N''$.

\vspace{0.1cm} 4.1. \'Etant donn\'e un homomorphisme $u \in \mathrm{Hom}_A(M, N'')$, choisissons un rel\`evement $u' \in \mathrm{Hom}_A(L, N)$ de $u \circ p$ et posons $v = u'_{|R} \in \mathrm{Hom}_A(R,N')$. Vu le diagramme commutatif $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r] \ar@{->}[d]^{v} & L \ar@{->}[r] \ar@{->}[d]^{u'} & M \ar@{->}[r] \ar@{->}[d]^{u} & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & N' \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]  & N'' \ar@{->}[r]  & 0,}$$ les extensions $u^* E_0$ et $v_* E_0$ sont \'equivalentes en vertu de la question 1 et cela signifie pr\'ecis\'ement que les applications $\delta$ et $\partial$ se correspondent via l'isomorphisme de $A$-modules $\mathrm{Hom}_A(R,N')/\mathrm{Hom}_A(L,N') \tilde{\rightarrow} \mathrm{Ext}(M,N')$ construit \`a la question 3. Il en d\'ecoule en particulier que l'application $\delta$ est $A$-lin\'eaire.

4.2. Quelles que soient les applications $u \in \mathrm{Hom}_A(R,N')$ et $u' \in \mathrm{Hom}_A(R,N)$, $(f \circ u)_*E_0 = f_* (u_* E_0)$ et $(g \circ u')_*E_0 = g_*(u'_*E_0)$. Le diagramme $$\xymatrix{\mathrm{Hom}_A(R,N'') \ar@{->}[d] & \mathrm{Hom}_A(R,N) \ar@{->}[d] \ar@{->}[l]_{g_*} & \mathrm{Hom}_A(R,N') \ar@{->}[l]_{f_*} \ar@{->}[d] \\ \mathrm{Ext}(M,N'') & \mathrm{Ext}(M,N) \ar@{->}[l]_{g_*} & \mathrm{Ext}(M,N'), \ar@{->}[l]_{f_*}}$$ dans lequel les fl\`eches verticales sont les homomorphismes construits \`a la question 3, est donc commutatif et, vu la question pr\'ec\'edente, la suite de $A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A(M,N') \ar@{->}[r]^{f_*} & \mathrm{Hom}_A(M,N) \ar@{->}[r]^{g_*} & \mathrm{Hom}_A(M,N'') \ar@{->}[d]^{\partial} \\ & \mathrm{Ext}(M,N'') & \mathrm{Ext}(M,N) \ar@{->}[l]_{g_*} & \mathrm{Ext}(M,N') \ar@{->}[l]_{f_*} }$$ est par cons\'equent exacte.

4.3. Lorsque l'anneau $A$ est \emph{principal}, le $A$-module $R$ est libre --- car tout sous-$A$-module d'un $A$-module libre est libre --- et le foncteur $\mathrm{Hom}_A(R,.)$ est donc exact. Il en d\'ecoule que l'application $g_* : \mathrm{Hom}_A(R,N) \rightarrow \mathrm{Hom}_A(R,N'')$ est surjective et il en est par cons\'equent de m\^eme de l'application $g_* : \mathrm{Ext}(M,N) \rightarrow  \mathrm{Ext}(M,N'')$. 
\end{document} 