Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Représentations linéaires des groupes finis I

Exercice 1 — Soit G un groupe fini et soit k un corps (commutatif). Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) pour toute suite exacte de k[G]-modules \xymatrix{0 \ar[r] & V′ \ar[r] & V \ar[r] \ar[r] & V′′ \ar[r] & 0}, la suite de k-espaces

vectoriels \xymatrix{0 \ar[r] & V′^{G} \ar[r] & V^{G} \ar[r] & V′′^{G} \ar[r] & 0} est exacte ;

(ii) pour toute suite exacte de k[G]-modules \xymatrix{0 \ar[r] & V′ \ar[r] & V \ar[r] \ar[r] & V′′ \ar[r] & 0} et tout k[G]-module W, la suite de k-espaces vectoriels

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{G}(V′′,W) \ar[r] & Hom_{G}(V,W) \ar[r] & Hom_{G}(V′,W) \ar[r] & 0}

est exacte ; (iii) le cardinal de G est premier à la caractéristique de k.

À partir de maintenant, toutes les représentations d’un groupe fini G que l’on considère sont complexes et on écrit « G-module » en lieu et place de « ℂ[G]-module ».

Exercice 2 (Généralités) — Soit G un groupe fini et soit V un G-module.

1) Soit D(G) le sous-groupe de G engendré par les commutateurs aba^{−1} b^{−1} , a,b ∈ G. Démontrer que le G-module V^{D(G)} est une somme de G-modules de dimension un.

2) Supposons que le groupe G soit non commutatif, simple et qu’il possède un élément d’ordre 2. Démontrer que, s’il n’est pas trivial, le G-module V est de degré supérieur ou égal à 3. (Indication : vérifier que G s’injecte dans SL(V) et étudier l’action d’un élément de G d’ordre 2.)

3) Étant donné un homomorphisme ε : G → ℂ^{×}, on désigne par V(ε) le G-module « tordu par ε », obtenu en faisant opérer G sur V via g.x = ε(g)(g.x). Démontrer que V(ε) est irréductible si et seulement si V l’est.

Exercice 3 (Décomposition d’une représentation) — Soient G un groupe fini et V un G-module. 1) Étant donné un G-module irréductible W, démontrer que l’application

V → Hom_{ℂ}(Hom_{G}(V,W),W), x ↦ (φ ↦ φ(x))

est surjective et que l’application W ⊗_{ℂ} Hom_{G}(W,V) → V induite par l’homomorphisme

W × Hom_{G}(W,V) → V, (x,φ) ↦ φ(x)

est injective. Quel est le noyau (resp. l’image) de la première application (resp. de la seconde) ?

2) Soit H un autre groupe fini et soit U un H-module ; le groupe G×H opère naturellement sur le ℂ-espace vectoriel Hom_{ℂ}(V,U) par (g,h).u = h∘u∘g^{−1} . Si V et U sont irréductibles, démontrer que le G×H-module Hom_{ℂ}(V,U) est irréductible. (Indication : considérer un sous-module F de Hom_{ℂ}(V,U) et vérifier que l’injection canonique F → Hom_{ℂ}(V,U) est un isomorphisme en utilisant la question précédente.)

3) Soient V_{1},...,V_{d} les composantes isotypiques distinctes de V. Démontrer que la ℂ-algèbre End_{G}(V) est canoniquement isomorphe au produit des ℂ-algèbres End(V_{i}) et en déduire que V est irréductible si et seulement si End_{G}(V) ≃ ℂ.

4) Sans utiliser la théorie des caractères, démontrer que tout G-module irréductible W est de multiplicité dim(W) dans la représentation régulière ℂ[G]. En déduire qu’il n’y a qu’un nombre fini h de classes d’isomorphie de G-modules irréductibles, puis que, pour tous G-modules irréductibles W_{1},...,W_{h} deux à deux non isomorphes, les applications canoniques G → End_{ℂ}(W_{i}) induisent un isomorphisme de ℂ-algèbres

ℂ[G]˜→ ∏_{i=1}^{h} End_{ℂ}(W_{i}).

5) Déduire de la question précédente l’identité

|G| = ∑_{i=1}^{h} (dimW_{i})^{2}

et le fait que le nombre h de classes d’isomorphie de G-modules irréductibles est le nombre de classes de conjugaison d’éléments de G.

6) Soit g ∈ G, g ≠ 1. Démontrer qu’il existe une représentation irréductible V de G sur laquelle g opère non trivialement.

Exercice 4 (Groupe quaternionien) — Vérifier que le groupe

ℍ_{8} = SU(2,ℤ[i]) = \{M ∈ M_{2}(ℤ[i]) | M^{t}\overline{M}= I_{2} et det(M) = 1\}

admet la présentation

⟨a,b |a^{2} = b^{2}, a^{4} = 1, ba = a^{−1} b⟩

puis déterminer toutes ses représentations irréductibles. (Indication : vérifier que le quotient de ℍ_{8} par son centre est un groupe abélien d’ordre 4.)

Exercice 5 (Groupes symétriques) — Quel que soit l’entier naturel n ≥ 1, le groupe symétrique 𝔖_{n} opère naturellement sur ℂ^{n} = Hom_{Ens}({1,...,n},ℂ) par : σ.(x_{1},...,x_{n}) = (x_{σ^{−1} (1)},...,x_{σ^{−1} (n)}).

On suppose n ≥ 3 dans ce qui suit.

1) Soit S_{n} le sous-espace de ℂ^{n} formé des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle. Démontrer que S_{n} est une représentation irréductible de 𝔖_{n} (représentation standard).

2) Déterminer toutes les représentations irréductibles de 𝔖_{3}.

3) Soit ε_{n} : 𝔖_{n} → {±1} la signature. Démontrer que le 𝔖_{n}-module tordu S_{n}(ε_{n}) (cf. exercice 2 pour la définition) est isomorphe à S_{n} si et seulement si n = 3.

4) Vérifier qu’une permutation de 𝔽_{2}^{2} est un automorphisme 𝔽_{2}-linéaire si et seulement si elle fixe l’origine 0 = (0,0) et en déduire un homomorphisme de groupes surjectif

𝔖(𝔽_{2}^{2}) → 𝔖(𝔽_{2}^{2}− {0}), σ ↦ (x ↦ σ(x) − σ(0))

dont le noyau est le sous-groupe d’ordre 4 formé des permutations de 𝔽_{2}^{2} définies par les translations.

Décrire en termes de cycles le sous-groupe distingué de 𝔖_{4} que l’on vient de mettre en évidence puis déterminer toutes les représentations irréductibles de 𝔖_{4}.

Exercice 6 (Représentations de permutation) — Soit G un groupe fini opérant sur un ensemble fini X. On considère le ℂ-espace vectoriel V = ⨁ _{x∈X}ℂe_{x} dont on fait un G-module en posant ge_{x} = e_{gx}.

1) Vérifier que la multiplicité de la représentation unité ( = triviale) dans V est le nombre d’orbites de G dans X.

2) Soit V_{0} le noyau de l’augmentation V → ℂ. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) le G-module V_{0} est irréductible ;

(ii) il y a deux orbites pour l’action naturelle de G sur X × X ;

(iii) le groupe G opère transitivement sur X et doublement transitivement sur X × X : étant donnés x,y,x′,y′∈ X avec x ≠ y et x′≠ y′, il existe g ∈ G tel que x′= gx et y′= gy.

(Indication : l’équivalence des assertions (ii) et (iii) est facile ; pour établir l’équivalence des assertions (i) et (ii), vérifier tout d’abord que l’irréductibilité de V_{0} implique la transitivité de G sur X, en déduire que la ℂ-algèbre End_{G}(V) est isomorphe à End_{G}(V_{0}) × ℂ et utiliser le fait que V_{0} est irréductible si et seulement si End_{G}(V_{0}) est de dimension un.)

3) Déduire de ce qui précède que la représentation standard S_{n} du groupe symétrique 𝔖_{n} (cf. exercice 4) est irréductible.