\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\Zb}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Qb}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\Kr}{\mathrm{K}}
\newcommand{\W}{\mathrm{W}}
\newcommand{\Hr}{\mathrm{H}}

\addtolength{\hoffset}{-20mm}
%\addtolength{\voffset}{-15mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{35mm} \addtolength{\textheight}{50mm}

\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Repr\'esentations lin\'eaires des groupes finis I}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $\G$ un groupe fini et soit $k$ un corps (commutatif). D\'emontrer que les assertions suivantes sont \'equivalentes :

\indent (i) pour toute suite exacte de $k[\G]$-modules $\xymatrix{0  \ar@{->}[r] & \V'\ar@{->}[r] & \V \ar@{->}[r] \ar@{->}[r] & \V'' \ar@{->}[r] & 0}$, la suite de $k$-espaces vectoriels $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & {\V'}^{\G} \ar@{->}[r] & \V^{\G} \ar@{->}[r] & {\V''}^{\G} \ar@{->}[r] & 0}$ est exacte ; \\
\indent (ii)   pour toute suite exacte de $k[\G]$-modules $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \V'\ar@{->}[r] & \V \ar@{->}[r] \ar@{->}[r] & \V'' \ar@{->}[r] & 0}$ et tout $k[\G]$-module $\W$, la suite de $k$-espaces vectoriels $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\G}(\V'',\W) \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\G}(\V,\W) \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\G}(\V',\W) \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte ; \\
\indent (iii) le cardinal de $\G$ est premier \`a la caract\'eristique de $k$.

\vspace{0.5cm} \`A partir de maintenant, toutes les repr\'esentations d'un groupe fini $\G$ que l'on consid\`ere sont \emph{complexes} et on \'ecrit \og $\G$-module \fg \ en lieu et place de \og $\mathbb{C}[\G]$-module \fg. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{G\'en\'eralit\'es}) --- Soit $\G$ un groupe fini et soit $\V$ un $\G$-module.

\vspace{0.1cm} 1) Soit $\D(\G)$ le sous-groupe de $\G$ engendr\'e par les commutateurs $aba^{-1}b^{-1}$, $a, b \in \G$. D\'emontrer que le $\G$-module $\V^{\D(\G)}$ est une somme de $\G$-modules de dimension un.

\vspace{0.1cm} 2) Supposons que le groupe $\G$ soit non commutatif, simple et qu'il poss\`ede un \'el\'ement d'ordre $2$. D\'emontrer que, s'il n'est pas trivial, le $\G$-module $\V$ est de degr\'e sup\'erieur ou \'egal \`a $3$. (\emph{Indication : v\'erifier que $\G$ s'injecte dans $\mathrm{SL}(\V)$ et \'etudier l'action d'un \'el\'ement de $\G$ d'ordre $2$.})

\vspace{0.1cm} 3) \'Etant donn\'e un homomorphisme $\varepsilon : \G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$, on d\'esigne par $\V(\varepsilon)$ le $\G$-module \og tordu par $\varepsilon$\fg, obtenu en faisant op\'erer $\G$ sur $\V$ via $g.x = \varepsilon(g)(g.x)$. D\'emontrer que $\V(\varepsilon)$ est irr\'eductible si et seulement si $\V$ l'est.
 
\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{D\'ecomposition d'une repr\'esentation}) --- Soient $\G$ un groupe fini et $\V$ un $\G$-module.

\vspace{0.1cm} 1) \'Etant donn\'e un $\G$-module irr\'eductible $\W$, d\'emontrer que l'application $$\V \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathrm{Hom}_{\G}(\V,\W), \W), \ \ x \mapsto (\varphi \mapsto \varphi(x))$$ est surjective et que l'application $\W \otimes_{\mathbb{C}} \mathrm{Hom}_{\G}(\W,\V) \rightarrow \V$ induite par l'homomorphisme $$\W \times \mathrm{Hom}_{\G}(\W,\V) \rightarrow \V, \ (x,\varphi) \mapsto \varphi(x)$$ est injective. Quel est le noyau (resp. l'image) de la premi\`ere application (resp. de la seconde)?

\vspace{0.1cm} 2) Soit $\Hr$ un autre groupe fini et soit $\U$ un $\Hr$-module ; le groupe $\G \times \Hr$ op\`ere naturellement sur le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\V,\U)$ par $(g,h).u = h \circ u \circ g^{-1}$. Si $\V$ et $\U$ sont irr\'eductibles, d\'emontrer que le $\G \times \Hr$-module $\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\V,\U)$ est irr\'eductible. (\emph{Indication : consid\'erer un sous-module $\F$ de $\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\V,\U)$ et v\'erifier que l'injection canonique $\F \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\V,\U)$ est un isomorphisme en utilisant la question pr\'ec\'edente.})

\vspace{0.1cm} 3) Soient $\V_1, \ldots, \V_d$ les composantes isotypiques distinctes de $\V$. D\'emontrer que la $\mathbb{C}$-alg\`ebre $\mathrm{End}_{\G}(\V)$ est canoniquement isomorphe au produit des $\mathbb{C}$-alg\`ebres $\mathrm{End}(\V_i)$ et en d\'eduire que $\V$ est irr\'eductible si et seulement si $\mathrm{End}_{\G}(\V) \simeq \mathbb{C}$.

\vspace{0.1cm} 4) Sans utiliser la th\'eorie des caract\`eres, d\'emontrer que tout  $\G$-module irr\'eductible $\W$ est de multiplicit\'e $\mathrm{dim}(\W)$ dans la repr\'esentation r\'eguli\`ere $\mathbb{C}[\G]$. En d\'eduire qu'il n'y a qu'un nombre fini $h$ de classes d'isomorphie de $\G$-modules irr\'eductibles, puis que, pour tous $\G$-modules irr\'eductibles $\W_1, \ldots, \W_h$ deux \`a deux non isomorphes, les applications canoniques $\G \rightarrow \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(\W_i)$ induisent un isomorphisme de $\mathbb{C}$-alg\`ebres $$\mathbb{C}[\G] \widetilde{\rightarrow} \prod_{i=1}^h \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(\W_i).$$

\vspace{0.1cm} 5) D\'eduire de la question pr\'ec\'edente l'identit\'e $$|\G| = \sum_{i = 1}^h (\operatorname{dim} \W_i)^2$$ et le fait que le nombre $h$ de classes d'isomorphie de $\G$-modules irr\'eductibles est le nombre de classes de conjugaison d'\'el\'ements de $\G$.

\vspace{0.1cm} 6) Soit $g \in \G$, $g \neq 1$. D\'emontrer qu'il existe une repr\'esentation irr\'eductible $\V$ de $\G$ sur laquelle $g$ op\`ere non trivialement.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{Groupe quaternionien}) --- V\'erifier que le groupe $$\mathbb{H}_8 = \mathrm{SU}(2, \mathbb{Z}[i]) = \{\M \in \mathrm{M}_2(\mathbb{Z}[i]) \ | \ \M ^{t}\overline{\M} = \mathrm{I}_2 \ \textrm{ et } \ \mathrm{det}(\M)=1\}$$ admet la pr\'esentation $$\langle a, b \ | a^2 = b^2, \ a^4 = 1, \ ba = a^{-1}b\rangle$$ puis d\'eterminer toutes ses repr\'esentations irr\'eductibles. (\emph{Indication : v\'erifier que le quotient de $\mathbb{H}_8$ par son centre est un groupe ab\'elien d'ordre $4$}.)
 
\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Groupes sym\'etriques}) --- Quel que soit l'entier naturel $n \geq 1$, le groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$ op\`ere naturellement sur $\mathbb{C}^n = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\{1, \ldots, n\}, \mathbb{C})$ par : $\sigma.(x_1, \ldots, x_n) = (x_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)})$. 

On suppose $n \geq 3$ dans ce qui suit.

\vspace{0.1cm}
1) Soit \textbf{S}$_n$ le sous-espace de $\mathbb{C}^n$ form\'e des vecteurs dont la somme des coordonn\'ees est nulle. D\'emontrer que $\textbf{S}_n$ est une repr\'esentation irr\'eductible de $\mathfrak{S}_n$ (\emph{repr\'esentation standard}).

\vspace{0.1cm} 2) D\'eterminer toutes les repr\'esentations irr\'eductibles de $\mathfrak{S}_3$.

\vspace{0.1cm} 3) Soit $\varepsilon_n : \mathfrak{S}_n \rightarrow \{\pm 1\}$ la signature. D\'emontrer que le $\mathfrak{S}_n$-module tordu \textrm{S}$_n(\varepsilon_n)$ (cf. exercice 2 pour la d\'efinition) est isomorphe \`a \textrm{S}$_n$ si et seulement si $n = 3$.

\vspace{0.1cm} 4) V\'erifier qu'une permutation de $\mathbb{F}_2^2$ est un automorphisme $\mathbb{F}_2$-lin\'eaire si et seulement si elle fixe l'origine $0=(0,0)$ et en d\'eduire un homomorphisme de groupes surjectif  $$\mathfrak{S}(\mathbb{F}_2^2) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathbb{F}_2^2 - \{0\}), \ \sigma \mapsto (x \mapsto \sigma(x) - \sigma(0))$$ dont le noyau est le sous-groupe d'ordre $4$ form\'e des permutations de $\mathbb{F}_2^2$ d\'efinies par les translations. 

\vspace{0.1cm} D\'ecrire en termes de cycles le sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{S}_4$ que l'on vient de mettre en \'evidence puis d\'eterminer toutes les repr\'esentations irr\'eductibles de $\mathfrak{S}_4$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} (\emph{Repr\'esentations de permutation}) --- Soit $\G$ un groupe fini op\'erant sur un ensemble fini $\X$. On consid\`ere le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\V = \bigoplus_{x \in \X} \mathbb{C}e_x$ dont on fait un $\G$-module en posant $g e_x = e_{gx}$.

\vspace{0.1cm} 1) V\'erifier que la multiplicit\'e de la repr\'esentation unit\'e ( = triviale) dans $\V$ est le nombre d'orbites de $\G$ dans $\X$.

\vspace{0.2cm} 2) Soit $\V_0$ le noyau de l'augmentation $\V \rightarrow \mathbb{C}$. D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes : \\
\indent (i) le $\G$-module $\V_0$ est irr\'eductible ; \\
\indent (ii) il y a deux orbites pour l'action naturelle de $\G$ sur $\X \times \X$ ; \\
\indent (iii) le groupe $\G$ op\`ere transitivement sur $\X$ et doublement transitivement sur $\X \times \X$ : \'etant donn\'es $x,y, x', y' \in \X$ avec $x\neq y$ et $x' \neq y'$, il existe $g \in \G$ tel que $x'=gx$ et $y'=gy$.

(\emph{Indication : l'\'equivalence des assertions (ii) et (iii) est facile ; pour \'etablir l'\'equivalence des assertions (i) et (ii), v\'erifier tout d'abord que l'irr\'eductibilit\'e de $\V_0$ implique la transitivit\'e de $\G$ sur $\X$, en d\'eduire que la $\mathbb{C}$-alg\`ebre $\mathrm{End}_{\G}(\V)$ est isomorphe \`a $\mathrm{End}_{\G}(\V_0) \times \mathbb{C}$ et utiliser le fait que $\V_0$ est irr\'eductible si et seulement si $\mathrm{End}_{\G}(\V_0)$ est de dimension un.})

\vspace{0.1cm} 3) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que la repr\'esentation standard \textbf{S}$_n$ du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$ (cf. exercice 4) est irr\'eductible.

\end{document}