Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Représentations des groupes finis II

On rappelle que toutes les représentations considérées sont complexes.

Exercice 1 (Caractères) — Soit G un groupe fini et soit (V,ρ) une représentation de G.

1) Démontrer l’identité

dim(V^{G}) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G}tr(ρ(g)).

2) Vérifier que, pour tout g ∈ G, tr(g^{−1} ) = \overline{tr(g)}.

3) Quelle que soit la représentation (W,ρ′) de G, on fait agir G sur l’espace vectoriel Hom_{ℂ}(W,V) en posant g.u = ρ(g)∘u∘ρ′(g^{−1} ) pour tous g ∈ G, u ∈ Hom_{ℂ}(W,V), définissant ainsi une représentation ρ′′(g). Vérifier l’identité tr(ρ′′(g)) = tr(ρ(g))tr(ρ′(g^{−1} )) pour tout g ∈ G puis établir que, si la représentation (W,ρ′) est irréductible, sa multiplicité dans la représentation (V,ρ) est égale à

\frac{1}{|G|} ∑_{g∈G}χ_{ρ}(g)\overline{χ_{ρ′}(g)},

où l’on a posé χ_{ρ}(g) = tr(ρ(g)) et χ_{ρ′}(g) = tr(ρ′(g)).

4) Retrouver tous les théorèmes du cours concernant les caractères à partir des résultats du troisième exercice de la première fiche.

Exercice 2 — Soient ρ et ρ′deux représentations irréductibles de 𝔖_{4}, de degré 3 et non isomorphes. Déterminer les multiplicités des représentations irréductibles de 𝔖_{4} apparaissant dans la représentation ρ ⊗ ρ′.

Exercice 3 (Groupes diédraux) — Étant donné un entier naturel n ≥ 3, on désigne par D_{n} le groupe des isométries du plan préservant un polyèdre régulier à n côté ; on note C_{n} le sous-groupe constitué des rotations. On vérifie immédiatement que le groupe D_{n} est d’ordre 2n et qu’il contient une réflexion s.

1) Justifier que l’application C_{n}× {1,s} → D_{n}, (r,σ) ↦ rσ est une bijection et décrire la structure de groupe obtenue sur C_{n}× {1,s}.

2) Déterminer toutes les représentations irréductibles de degré un de D_{n}.

3) Soit (V,ρ) une représentation du groupe C_{n}. On considère l’espace vectoriel I(V,ρ) l’espace vectoriel des applications f : D_{n} → V telles que f(rg) = ρ(r)f(g) pour tous r ∈ C_{n}, g ∈ D_{n}, sur lequel le groupe D_{n} opère par g.f(g′) = f(g′g) (g, g′∈ D_{n}).

Déterminer toutes les représentations irréductibles de D_{n} de cette forme.

4) Vérifier que l’on a obtenu ainsi toutes les représentations irréductibles du groupe D_{n}.

Exercice 4 (Induction) — Soient G un groupe fini et H ⊂ G un sous-groupe. Étant donné un H-module W, le produit tensoriel ℂ[G]⊗_{ℂ[H]}W est par définition le quotient de l’espace vectoriel ℂ[G]⊗_{ℂ} W par le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de la forme e_{gh}⊗w−e_{g}⊗hw avec g ∈ G, h ∈ H et w ∈ W. L’action naturelle de G sur ℂ[G] fait de ℂ[G] ⊗_{ℂ[H]}W un G-module, que l’on appelle G-module induit par W et que l’on note

Ind_{H}^{G}(W).

1) Étant donné R ⊂ G un système de représentants des classes à droite modulo H, les éléments e_{r}, r ∈ R, constituent une base de ℂ[G] en tant que ℂ[H]-module à droite. En déduire une description du G-module Ind_{H}^{G}(W) et déterminer les G-modules

Ind_{H}^{G}(1_{H}) et Ind_{H}^{G}(ℂ[H]),

respectivement induits par les représentations triviale et régulière de H.

2) Démontrer que l’application W → Ind_{H}^{G}(W), w ↦ 1 ⊗ w induit par composition une bijection

Hom_{G}(Ind_{H}^{G}(W),V) → Hom_{H}(W,V)

pour tout G-module V.

En déduire que toute représentation irréductible de G est contenue dans une représentation induite d’une représentation irréductible de H.

3) On note χ_{W} le caractère du H-module W et on désigne par Ind_{H}^{G}(χ_{W}) le caractère du G-module Ind_{H}^{G}(W). Démontrer que, pour toute fonction centrale φ sur G,

(χ_{W}|φ_{|H})_{H} = (Ind_{H}^{G}(χ_{W})|φ)_{G},

où (.|.)_{H} et (.|.)_{G} sont les produits scalaires hermitiens usuels sur Cent(H) et Cent(G) respectivement ; c’est la formule de réciprocité de Frobenius.

4) Vérifier que, pour tout élément g de G,

Ind_{H}^{G}(χ_{W})(g) = \frac{1}{|H|} ∑_{s∈G, s^{−1} gs∈H} χ_{W}(s^{−1} gs).

Exercice 5 (Un théorème de Frobenius) — Soient G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G satisfaisant à la condition suivante : quel que soit g ∈ G, H ∩ gHg^{−1} = {1} si g ∉ H.

1) On désigne par N l’ensemble des éléments de G dont la classe de conjugaison est disjointe de H. Démontrer que toute fonction centrale φ sur H se prolonge de manière unique en une fonction centrale φ̃ sur G prenant la valeur 1 sur N puis établir l’identité

φ̃ = Ind_{H}^{G}(φ) − φ(1)(Ind_{H}^{G}(1) − 1).

2) Vérifier que

(φ̃_{1}|φ̃_{2})_{G} = (φ_{1}|φ_{2})_{H}

pour toutes fonctions centrales φ_{1}, φ_{2} sur H.

3) Supposons que χ soit un caractère irréductible de H. Démontrer que la fonction centrale χ̃ est une combinaison linéaire à coefficients entiers de caractères irréductibles de G puis en déduire qu’il s’agit du caractère d’une représentation irréductible ρ de G dont le noyau contient N.

4) Déduire de ce qui précède qu’il existe une rétraction de G sur H, c’est-à-dire un homomorphisme p: G → H tel que p_{|H} soit l’identité de H.

Exercice 6 — Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G et W un H-module ; on pose V = Ind_{H}^{G}(W).

Étant donné un élément g de G, on pose ^{g}H = gHg^{−1} et on désigne par ^{g}W le ^{g}H-module obtenu en faisant agir u ∈^{g}H sur W par u.w = (g^{−1} ug).w.

1) Soit K un sous-groupe de G et soit T ⊂ G un système de représentants des doubles classes K\G/H. (i) Quel que soit t ∈ T, on désigne par V(t) le sous-K-module de V engendré par les vecteurs e_{t}⊗w, w ∈ W.

Vérifier que le stabilisateur de ℂe_{t}⊗ W est le sous-groupe K ∩^{t}H de K et en déduire que V(t) est la somme directe des sous-espaces vectoriels ℂke_{t}⊗ W, k parcourant un système de représentants des classes à droite K/(K ∩^{t}H).

(ii) Déduire de ce qui précède que le K-module Ind_{H}^{G}(W) est isomorphe à la somme directe des K-modules Ind_{K∩^{t}H}^{K}(^{t}W), t ∈ T.

2) En utilisant la question précédente et la propriété universelle de l’induction, démontrer que le G-module Ind_{H}^{G}(W) est irréductible si et seulement si

– le H-module W est irréductible ;

– pour tout g ∈ G − H, les H ∩ gHg^{−1} -modules W et^{g}W n’ont aucune composante irréductible commune.

3) Déduire de ce qui précède que, lorsque H est distingué dans G, le G-module Ind_{H}^{G}(W) est irréductible si et seulement si le H-module W est irréductible et n’est isomorphe à aucun de ses conjugués^{g}W, g ∈ G − H.