\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-21mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-30mm} \addtolength{\headsep}{0mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm} \addtolength{\textheight}{50mm}


\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\Zb}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Qb}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\W}{\mathrm{W}}
\newcommand{\Hr}{\mathrm{H}}


\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Repr\'esentations des groupes finis II}
\end{center}

\vspace{0.2cm} \noindent On rappelle que toutes les repr\'esentations consid\'er\'ees sont \emph{complexes}.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} \emph{(Caract\`eres)} --- Soit $\G$ un groupe fini et soit $(\V, \rho)$ une repr\'esentation de $\G$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) D\'emontrer l'identit\'e $$\mathrm{dim} (\V^\G) = \frac{1}{|\G|} \sum_{g \in \G} \mathrm{tr}(\rho(g)).$$

\vspace{0.1cm} \noindent 2) V\'erifier que, pour tout $g \in \G$, $\mathrm{tr}(g^{-1}) = \overline{\mathrm{tr}(g)}$.

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Quelle que soit la repr\'esentation $(\W, \rho')$ de $\G$, on fait agir $\G$ sur l'espace vectoriel $\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\W,\V)$ en posant $g.u = \rho(g) \circ u \circ \rho'(g^{-1})$ pour tous $g \in \G, \ u \in \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(\W,\V)$, d\'efinissant ainsi une repr\'esentation $\rho''(g)$. V\'erifier l'identit\'e $\mathrm{tr}(\rho''(g)) = \mathrm{tr}(\rho(g)) \mathrm{tr}(\rho'(g^{-1}))$ pour tout $g \in \G$ puis \'etablir que, si la repr\'esentation $(\W,\rho')$ est irr\'eductible, sa multiplicit\'e dans la repr\'esentation $(\V,\rho)$ est \'egale \`a $$\frac{1}{|\G|}\sum_{g \in \G} \chi_{\rho}(g) \overline{\chi_{\rho'}(g)},$$ o\`u l'on a pos\'e $\chi_{\rho}(g) = \mathrm{tr}(\rho(g))$ et $\chi_{\rho'}(g) = \mathrm{tr}(\rho'(g))$.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) Retrouver tous les th\'eor\`emes du cours concernant les caract\`eres \`a partir des r\'esultats du troisi\`eme exercice de la premi\`ere fiche.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Soient $\rho$ et $\rho'$ deux représentations irr\'eductibles de $\mathfrak{S}_4$, de degr\' e $3$ et non isomorphes. D\'eterminer les multiplicit\'es des repr\'esentations irr\'eductibles de $\mathfrak{S}_4$ apparaissant dans la repr\'esentation $\rho \otimes \rho'$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Groupes di\'edraux}) --- \'Etant donn\'e un entier naturel $n \geq 3$, on d\'esigne par $\D_n$ le groupe des isom\'etries du plan pr\'eservant un poly\`edre r\'egulier \`a $n$ c\^ot\'e ; on note $\C_n$ le sous-groupe constitu\'e des rotations. On v\'erifie imm\'ediatement que le groupe $\D_n$ est d'ordre $2n$ et qu'il contient une r\'eflexion $s$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) Justifier que l'application $\C_n \times \{1, s\} \rightarrow \D_n, \ \ (r,\sigma) \mapsto r\sigma$ est une bijection et d\'ecrire la structure de groupe obtenue sur $\C_n \times \{1,s\}$.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) D\'eterminer toutes les repr\'esentations irr\'eductibles de degr\'e un de $\D_n$.

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Soit $(\V, \rho)$ une repr\'esentation du groupe $\C_n$. On consid\`ere l'espace vectoriel $\Ir(\V,\rho)$ l'espace vectoriel des applications $f : \D_n \rightarrow \V$ telles que $f(rg) = \rho(r) f(g)$ pour tous $r \in \C_n, \ g \in \D_n$, sur lequel le groupe $\D_n$ op\`ere par $g.f(g') = f(g'g)$ ($g,\ g' \in \D_n$). 

D\'eterminer toutes les repr\'esentations irr\'eductibles de $\D_n$ de cette forme.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) V\'erifier que l'on a obtenu ainsi toutes les repr\'esentations irr\'eductibles du groupe $\D_n$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{Induction}) --- Soient $\G$ un groupe fini et $\Hr \subset \G$ un sous-groupe. \'Etant donn\'e un $\Hr$-module $\W$, le produit tensoriel $\mathbb{C}[\G] \otimes_{\mathbb{C}[\Hr]} \W$ est par d\'efinition le quotient de l'espace vectoriel $\mathbb{C}[\G] \otimes_{\mathbb{C}} \W$ par le sous-espace vectoriel engendr\'e par les vecteurs de la forme $e_{gh} \otimes w - e_{g} \otimes hw$ avec $g \in \G, \ h \in \Hr$ et $w \in \W$. L'action naturelle de $\G$ sur $\mathbb{C}[\G]$ fait de $\mathbb{C}[\G] \otimes_{\mathbb{C}[\Hr]} \W$ un $\G$-module, que l'on appelle \emph{$\G$-module induit par $\W$} et que l'on note $$\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W).$$ 

\vspace{0.1cm} \noindent 1) \'Etant donn\'e $\mathcal{R} \subset G$ un syst\`eme de repr\'esentants des classes \`a droite modulo $\Hr$, les \'el\'ements $e_r$, $r \in \mathcal{R}$, constituent une base de $\mathbb{C}[\G]$ en tant que $\mathbb{C}[\Hr]$-module \`a droite. En d\'eduire une description du $\G$-module $\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W)$ et d\'eterminer les $\G$-modules $$\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\mathbf{1}_{\Hr}) \ \ \textrm{ et } \ \ \mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\mathbb{C}[\Hr]),$$ respectivement induits par les repr\'esentations triviale et r\'eguli\`ere de $\Hr$.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) D\'emontrer que l'application $\W \rightarrow \mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W), \ w \mapsto 1 \otimes w$ induit par composition une bijection $$\mathrm{Hom}_{\G}(\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W), \V) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\Hr}(\W,\V)$$ pour tout $\G$-module $\V$.

En d\'eduire que toute repr\'esentation irr\'eductible de $\G$ est contenue dans une repr\'esentation induite d'une repr\'esentation irr\'eductible de $\Hr$. 

\vspace{0.1cm} \noindent 3) On note $\chi_{\W}$ le caract\`ere du $\Hr$-module $\W$ et on d\'esigne par $\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\chi_{\W})$ le caract\`ere du $\G$-module $\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W)$. D\'emontrer que, pour toute fonction centrale $\varphi$ sur $\G$, $$(\chi_{\W}|\varphi_{|\Hr})_{\Hr} = (\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\chi_{\W})|\varphi)_{\G},$$ o\`u $(.|.)_{\Hr}$ et $( . | . )_{\G}$ sont les produits scalaires hermitiens usuels sur $\mathrm{Cent}(\Hr)$ et $\mathrm{Cent}(\G)$ respectivement ; c'est la \emph{formule de r\'eciprocit\'e de Frobenius}.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) V\'erifier que, pour tout \'el\'ement $g$ de $\G$, $$\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\chi_{\W})(g) = \frac{1}{|\Hr|} \sum_{s \in \G, \ s^{-1}gs \in \Hr} \chi_{\W}(s^{-1}gs).$$


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Un th\'eor\`eme de Frobenius}) --- Soient $\G$ un groupe fini et soit $\Hr$ un sous-groupe de $\G$ satisfaisant \`a la condition suivante : quel que soit $g \in \G$, $\Hr \cap g\Hr g^{-1} = \{1\}$ si $g \notin  \Hr$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) On d\'esigne par $\N$ l'ensemble des \'el\'ements de $\G$ dont la classe de conjugaison est disjointe de $\Hr$. D\'emontrer que toute fonction centrale $\varphi$ sur $\Hr$ se prolonge de mani\`ere unique en une fonction centrale $\widetilde{\varphi}$ sur $\G$ prenant la valeur $1$ sur $\N$ puis \'etablir l'identit\'e $$\widetilde{\varphi} = \mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\varphi) - \varphi(1)(\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(1) - 1).$$  

\vspace{0.1cm} \noindent 2) V\'erifier que $$(\widetilde{\varphi_1}|\widetilde{\varphi_2})_{\G} = (\varphi_1|\varphi_2)_{\Hr}$$ pour toutes fonctions centrales $\varphi_1, \ \varphi_2$ sur $\Hr$. 

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Supposons que $\chi$ soit un caract\`ere irr\'eductible de $\Hr$. D\'emontrer que la fonction centrale $\widetilde{\chi}$ est une combinaison lin\'eaire \`a coefficients entiers de caract\`eres irr\'eductibles de $\G$ puis en d\'eduire qu'il s'agit du caract\`ere d'une repr\'esentation irr\'eductible $\rho$ de $\G$ dont le noyau contient $\N$.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe une \emph{r\'etraction} de $\G$ sur $\Hr$, c'est-\`a-dire un homomorphisme $p : \G \rightarrow \Hr$ tel que $p_{|\Hr}$ soit l'identit\'e de $\Hr$. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- Soient $\G$ un groupe fini, $\Hr$ un sous-groupe de $\G$ et $\W$ un $\Hr$-module ; on pose $\V = \mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W)$.

\'Etant donn\'e un \'el\'ement $g$ de $\G$, on pose $^g{\Hr} = g \Hr g^{-1}$ et on d\'esigne par $^{g}\W$ le $^g{\Hr}$-module obtenu en faisant agir $u \in {}^g{\Hr}$ sur $\W$ par $u.w = (g^{-1}ug).w$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) Soit $\K$ un sous-groupe de $\G$ et soit $\T \subset \G$ un syst\`eme de repr\'esentants des doubles classes $\K \backslash \G / \Hr$.

\indent (i) Quel que soit $t \in \T$, on d\'esigne par $\V(t)$ le sous-$\K$-module de $\V$ engendr\'e par les vecteurs $e_t \otimes w$, $w \in \W$. V\'erifier que le stabilisateur de $\mathbb{C}e_t \otimes \W$ est le sous-groupe $\K \cap ^t{\Hr}$ de $\K$ et en d\'eduire que $\V(t)$ est la somme directe des sous-espaces vectoriels $\mathbb{C}ke_t \otimes \W$, $k$ parcourant un syst\`eme de repr\'esentants des classes \`a droite $\K/(\K \cap ^{t}\Hr)$.

\indent (ii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que le $\K$-module $\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W)$ est isomorphe \`a la somme directe des $\K$-modules $\mathrm{Ind}_{\K \cap {}^{t}\Hr}^{\K}({}^{t}\W)$, $t \in \T$. 


\vspace{0.1cm} \noindent 2) En utilisant la question pr\'ec\'edente et la propri\'et\'e universelle de l'induction, d\'emontrer que le $\G$-module $\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W)$ est irr\'eductible si et seulement si \begin{itemize}
\item le $\Hr$-module $\W$ est irr\'eductible ; 
\item pour tout $g \in \G - \Hr$, les $\Hr \cap g\Hr g^{-1}$-modules $\W$ et $^{g}\W$ n'ont aucune composante irr\'eductible commune.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent 3) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que, lorsque $\Hr$ est distingu\'e dans $\G$, le $\G$-module $\mathrm{Ind}_{\Hr}^{\G}(\W)$ est irr\'eductible si et seulement si le $\Hr$-module $\W$ est irr\'eductible et n'est isomorphe \`a aucun de ses conjugu\'es $^{g}\W$, $g \in \G - \Hr$.


\end{document}