Université Claude Bernard – Lyon 1 et École Normale Supérieure de Lyon Année 2007/2008 Unité d’enseignement : algèbre approfondie Examen partiel du 16 novembre 2007 Enseignant responsable : Bertrand RÉMY

Durée : 3 heures. Appareils électroniques autorisés : aucun. Documents autorisés : aucun. La clarté et la pertinence des explications sont un élément d’appréciation significatif de la copie.

Exercice A. On désigne par S_{n} le groupe symétrique de l’ensemble {1; 2; ...; n}.

1) Décrire les classes de conjugaison dans S_{4}.

2) En considérant les partitions de {1; 2; 3; 4} en paires d’entiers, démontrer qu’il existe un homomorphisme de groupes surjectif de S_{4} sur S_{3}. Décrire le noyau de cet homomorphisme au moyen de groupe(s) cyclique(s).

3) En déduire 3 représentations (linéaires, complexes) irréductibles de S_{4}. On pourra utiliser, entre autres arguments, la table des caractères de S_{3} du cours pour justifier l’irréductibilité de ces représentations.

4) Déterminer les dimensions de représentations irréductibles permettant de compléter la table de caractères de S_{4}.

5) Proposer une description concrète d’une des représentations de 4). En notant ρ cette représentation et ε la signature, vérifier que ρ ⊗ ε est irréductible.

6) Dresser finalement la table des caractères de S_{4}.

Exercice B. Soit k un corps commutatif et soit A une k-algèbre de type fini. Cet exercice a pour objet la démonstration du lemme de normalisation de Noether :

il existe des éléments x_{1}, …, x_{d} de A algébriquement indépendants sur k et tels que l’anneau A soit entier sur la sous-k-algèbre k[x_{1}, …, x_{d}].

1) Considérons tout d’abord un anneau de polynômes k[T_{1}, …, T_{n}] et un élément non constant f = ∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}T_{1}^{ν_{1}} … T_{n}^{ν_{n}} ∈ k[T_{1}, …, T_{n}]. On pose

r = max{ν_{i} ; 1 ≤ i ≤ n, a_{ν} ≠ 0} + 1

et on définit un automorphisme φ de k[T_{1}, …, T_{n}] par les formules

φ(T_{1}) = T_{1}, φ(T_{i}) = T_{i} + T_{1}^{r^{i}} (2 ≤ i ≤ n).

1.1. Vérifier que le polynôme φ(f) est de la forme

αT_{1}^{N} + ∑_{p=0}^{N−1} Q_{p}(T_{2}, …, T_{n})T_{1}^{p}

avec α ∈ k^{×} et N ∈ ℕ − {0}.

1.2. En déduire qu’il existe des éléments x_{2}, …, x_{n} de k[T_{1}, …, T_{n}] tels que

– f, x_{2}, …, x_{n} soient algébriquement indépendants ;

– l’anneau k[T_{1}, …, T_{n}] soit entier sur k[f, x_{2}, …, x_{n}]. 1.3. Démontrer que les images de x_{2}, …, x_{n} dans k[T_{1}, …, T_{n}]/(f) sont algébriquement indépendantes.

2) Démontrer le lemme de normalisation de Noether. (Indication : écrire A sous la forme k[T_{1}, …, T_{n}]/𝔞 et raisonner par récurrence sur l’entier n en utilisant la première question.)

Exercice C. Soit A un anneau commutatif. Quels que soient les deux A-modules M et N, une extension de M par N est une suite exacte courte de A-modules

E : \xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r]^{α} & P \ar[r]^{β} & M \ar[r] & 0}.

Deux extensions E et E′ sont dites équivalentes (notation : E ∼ E′) s’il existe un isomorphisme φ s’insérant dans un diagramme commutatif

[figure: E : 0; N; P; φ; M; 0; E′ : 0; N; P′; M; 0.]

On désigne par Ext(M, N) l’ensemble des classes d’équivalence d’extensions de M par N.

Étant donnés une extension E de M par N et des homomorphismes u : N → N′, v : M′ → M, on note

– u_{∗}E : \xymatrix{0 \ar[r] & N′ \ar[r]^{α′} & u_{∗}P \ar[r]^{β′} & M \ar[r] & 0} l’extension de M par N′ dans laquelle u_{∗}P est le conoyau de l’homomorphisme N → P ⊕ N′, x ↦ (α(x), −u(x)) et α′, β′ sont les homomorphismes respectivement induits par l’injection canonique N′ → P ⊕ N′ et β;

– v^{∗}E : \xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r]^{α′′} & v^{∗}P \ar[r]^{β′′} & M′ \ar[r] & 0} l’extension de M′ par N dans laquelle v^{∗}P est le noyau de l’homomorphisme P ⊕ M′ → M, (x, y) ↦ β(x) − v(y) et α′′, β′′ sont les homomorphismes respectivement induits par α et la projection P ⊕ M′ → M′.

1) Quel que soit le diagramme commutatif de suites exactes courtes

\xymatrix{E′ : 0 \ar[r] & N′ \ar[r]^{α} \ar[d]^{u} & P′ \ar[r]^{β} \ar[d]^{w} & M \ar[r] \ar[d]^{v} & 0 \\ E′′ : 0 \ar[r] & N \ar[r]^{γ} & P′′ \ar[r]^{δ} & M′ \ar[r] & 0}

démontrer que les extensions u_{∗}E′ et v^{∗}E′′ de M par N sont équivalentes.

2) Démontrer que tout A-module est isomorphe au quotient d’un A-module libre.

3) Soient M, N deux A-modules et soit

\xymatrix{E_{0} : 0 \ar[r] & R \ar[r]^{ι} & L \ar[r]^{p} & M \ar[r] & 0}

une suite exacte dans laquelle L est un A-module libre. 3.1. Démontrer que l’application Hom_{A}(R, N) → Ext(M, N), u ↦ u_{∗}E_{0}, induit une bijection entre le conoyau de l’application

ι_{∗} : Hom_{A}(L, N) → Hom_{A}(R, N), v ↦ v ∘ ι

et Ext(M, N). 3.2. Vérifier que l’extension 0_{∗}E_{0} est équivalente à l’extension triviale

0 → N → N ⊕ M → M → 0

3.3. Quels que soient u, u′ ∈ Hom_{A}(R, N), vérifier que l’extension (u + u′)_{∗}E_{0} est équivalente à l’extension ∇_{∗}Δ^{∗}(u_{∗}E_{0} ⊕ u′_{∗}E_{0}), où u_{∗}E_{0} ⊕ u′_{∗}E_{0} est la suite exacte courte

\xymatrix{0 \ar[r] & N ⊕ N \ar[r] & u_{∗}L ⊕ u′_{∗}L \ar[r] & M ⊕ M \ar[r] & 0}

et où Δ, ∇ sont les homomorphismes

Δ : M → M ⊕ M, x ↦ (x, x) et ∇ : N ⊕ N → N, (x, y) ↦ x + y.

(Indication : on pourra commencer par construire un homomorphisme de L dans Δ^{∗}(u_{∗}L⊕u′_{∗}L).) 3.4. Déduire de ce qui précède que l’ensemble Ext(M, N) est naturellement muni d’une structure de A-module, que l’on décrira.

4) Soit E : \xymatrix{0 \ar[r] & N′ \ar[r]^{f} & N \ar[r] \ar[r]^{g} & N′′ \ar[r] & 0} une suite exacte de A-modules et soit M un A-module. 4.1. Vérifier que l’application δ : Hom_{A}(M, N′′) → Ext(M, N′), u ↦ u^{∗}E, est A-linéaire. 4.2. Démontrer que la suite de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{A}(M, N′) \ar[r]^{f_{∗}} & Hom_{A}(M, N) \ar[r]^{g_{∗}} & Hom_{A}(M, N′′) \ar[d]^{δ} \\  & Ext(M, N′′) & Ext(M, N) \ar[l]_{g_{∗}} & Ext(M, N′) \ar[l]_{f_{∗}}}

est exacte. 4.3. Lorsque l’anneau A est principal, démontrer que l’application g_{∗} : Ext(M, N) → Ext(M, N′′) est surjective.