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\begin{document}
{\bf Universit\'e Claude Bernard -- Lyon 1 et \'Ecole Normale Sup\'erieure de Lyon

Ann\'ee 2007/2008

Unit\'e d'enseignement : alg\`ebre approfondie

Examen partiel du 16 novembre 2007}

Enseignant responsable : Bertrand R\'EMY

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{\it Dur\'ee}~: 3 heures.

{\it Appareils \'electroniques autoris\'es}~: aucun.

{\it Documents autoris\'es}~: aucun.

{\it La clart\'e et la pertinence des explications sont un \'el\'ement d'appr\'eciation significatif de la copie}.

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{\bf Exercice A.}
On d\'esigne par ${\cal S}_n$ le groupe sym\'etrique de l'ensemble $\{ 1; 2; ... \, ; n \}$.

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1) D\'ecrire les classes de conjugaison dans ${\cal S}_4$.

2) En consid\'erant les partitions de $\{ 1; 2; 3; 4 \}$ en paires d'entiers, d\'emontrer qu'il existe un homomorphisme de groupes surjectif de ${\cal S}_4$ sur ${\cal S}_3$.
D\'ecrire le noyau de cet homomorphisme au moyen de groupe(s) cyclique(s).

3) En d\'eduire 3 repr\'esentations (lin\'eaires, complexes) irr\'eductibles de ${\cal S}_4$.
On pourra utiliser, entre autres arguments, la table des caract\`eres de ${\cal S}_3$ du cours pour justifier l'irr\'eductibilit\'e de ces repr\'esentations.

4) D\'eterminer les dimensions de repr\'esentations irr\'eductibles permettant de compl\'eter la table de caract\`eres de ${\cal S}_4$.

5) Proposer une description concr\`ete d'une des repr\'esentations de 4).
En notant $\rho$ cette repr\'esentation et $\varepsilon$ la signature, v\'erifier que $\rho \otimes \varepsilon$ est irr\'eductible.

6) Dresser finalement la table des caract\`eres de ${\cal S}_4$.

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{\bf Exercice B.} Soit $k$ un corps commutatif et soit $A$ une $k$-alg\`ebre de type fini. Cet exercice a pour objet la d\'emonstration du \emph{lemme de normalisation de Noether}: \begin{center} il existe des \'el\'ements $x_1, \ldots, x_d$ de $A$ alg\'ebriquement ind\'ependants sur $k$ et tels que l'anneau $A$ soit entier sur la sous-$k$-alg\`ebre $k[x_1, \ldots, x_d]$. \end{center}

\vspace{0.1cm} 1) Consid\'erons tout d'abord un anneau de polyn\^omes $k[T_1, \ldots, T_n]$ et un \'el\'ement non constant $f = \sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} a_{\nu} T_1^{\nu_1} \ldots T_n^{\nu_n} \in k[T_1, \ldots, T_n]$. 

On pose $$r = \max\{\nu_i \ ;  \ 1 \leq i \leq n, \ a_{\nu} \neq 0\} + 1$$ et on d\'efinit un automorphisme $\varphi$ de $k[T_1, \ldots, T_n]$ par les formules $$\varphi(T_1) = T_1, \ \varphi(T_i) = T_i + T_1^{r^{i}} \ \ (2 \leq i \leq n).$$

\indent 1.1. V\'erifier que le polyn\^ome $\varphi(f)$ est de la forme $$\alpha T_1^N + \sum_{p = 0}^{N-1} Q_p(T_2, \ldots, T_n)T_1^p$$ avec $\alpha \in k^{\times}$ et $N \in \mathbb{N} - \{0\}$.  
 
\indent 1.2. En d\'eduire qu'il existe des \'el\'ements $x_2, \ldots, x_n$ de $k[T_1, \ldots, T_n]$ tels que \begin{itemize} \item $f, x_2, \ldots, x_n$ soient alg\'ebriquement ind\'ependants ; \item l'anneau $k[T_1, \ldots, T_n]$ soit entier sur $k[f,x_2, \ldots, x_n]$. \end{itemize}

\indent 1.3. D\'emontrer que les images de $x_2, \ldots, x_n$ dans $k[T_1, \ldots, T_n]/(f)$ sont alg\'ebriquement ind\'ependantes. 

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer le lemme de normalisation de Noether. (\emph{Indication : \'ecrire $A$ sous la forme $k[T_1, \ldots, T_n]/\mathfrak{a}$ et raisonner par r\'ecurrence sur l'entier $n$ en utilisant la premi\`ere question.}) 

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{\bf Exercice C.} Soit $A$ un anneau commutatif. Quels que soient les deux $A$-modules $M$ et $N$, une \emph{extension} de $M$ par $N$ est une suite exacte courte de $A$-modules $$E \hspace{0.5cm} : \hspace{0.5cm} \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\alpha} & P \ar@{->}[r]^{\beta} & M \ar@{->}[r] & 0}.$$ Deux extensions $E$ et $E'$ sont dites \emph{\'equivalentes} (notation : $E \sim E'$) s'il existe un isomorphisme $\varphi$ s'ins\'erant dans un diagramme commutatif $$\xymatrix{E \ : \ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & P \ar@{->}[r] \ar@{->}[d]^{\varphi} & M \ar@{->}[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ E' \ : \
0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r] & P' \ar@{->}[r] & M \ar@{->}[r] & 0.}$$ On d\'esigne par $\mathrm{Ext}(M,N)$ l'ensemble des classes d'\'equivalence d'extensions de $M$ par $N$.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'es une extension $E$ de $M$ par $N$ et des homomorphismes $u : N \rightarrow N'$, $v : M' \rightarrow M$, on note \begin{itemize} \item $u_*E \ : \ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N' \ar@{->}[r]^{\alpha'} & u_{*}P \ar@{->}[r]^{\beta'} & M \ar@{->}[r] & 0}$ l'extension de $M$ par $N'$ dans laquelle $u_*P$ est le conoyau de l'homomorphisme $N \rightarrow P \oplus N', \ x \mapsto (\alpha(x),-u(x))$ et $\alpha', \ \beta'$ sont les homomorphismes respectivement induits par l'injection canonique $N' \rightarrow P \oplus N'$ et $\beta$ ; \item $v^*E \ : \ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\alpha''} & v^{*}P \ar@{->}[r]^{\beta''} & M' \ar@{->}[r] & 0}$ l'extension de $M'$ par $N$ dans laquelle $v^*P$ est le noyau de l'homomorphisme $P \oplus M' \rightarrow M, \ (x,y) \mapsto \beta(x)-v(y)$ et $\alpha'', \ \beta''$ sont les homomorphismes respectivement induits par $\alpha$ et la projection $P \oplus M' \rightarrow M'$. \end{itemize}
\vspace{0.1cm} \noindent 1)  Quel que soit le diagramme commutatif de suites exactes courtes $$\xymatrix{E' \ \ : \ \ 0 \ar@{->}[r] & N' \ar@{->}[r]^{\alpha} \ar@{->}[d]^{u} & P' \ar@{->}[r]^{\beta} \ar@{->}[d]^w & M \ar@{->}[r] \ar@{->}[d]^{v} & 0 \\
E'' \ \ : \ \ 0 \ar@{->}[r] & N \ar@{->}[r]^{\gamma} & P'' \ar@{->}[r]^{\delta} & M' \ar@{->}[r] & 0}$$ d\'emontrer que les extensions $u_*E'$ et $v^* E''$ de $M$ par $N$ sont \'equivalentes.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) D\'emontrer que tout $A$-module est isomorphe au quotient d'un $A$-module libre.

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Soient $M$, $N$ deux $A$-modules et soit $$\xymatrix{E_0 \ \ : \ \ 0 \ar@{->}[r] & R \ar@{->}[r]^{\iota} & L \ar@{->}[r]^p & M \ar@{->}[r] &0}$$ une suite exacte dans laquelle $L$ est un $A$-module libre.

\indent 3.1. D\'emontrer que l'application $\mathrm{Hom}_{A}(R,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N), \ u \mapsto u_*E_0$,  induit une bijection entre le conoyau de l'application $$\iota_* : \mathrm{Hom}_{A}(L,N) \rightarrow \mathrm{Hom}_{A}(R,N), \ \ v \mapsto v \circ \iota$$ et $\mathrm{Ext}(M,N)$.

\indent 3.2. V\'erifier que l'extension $0_*E_0$ est \'equivalente \`a l'extension triviale $$0 \rightarrow N \rightarrow N\oplus M \rightarrow M \rightarrow~0$$

\indent 3.3. Quels que soient $u, u' \in \mathrm{Hom}_{A}(R,N)$, v\'erifier que l'extension $(u+u')_*E_0$ est \'equivalente \`a l'extension $\nabla_*\Delta^* (u_*E_0 \oplus u'_* E_0)$, o\`u $u_*E_0 \oplus u'_*E_0$ est la suite exacte courte $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N \oplus N \ar@{->}[r] & u_*L \oplus u'_*L \ar@{->}[r] & M \oplus M \ar@{->}[r] & 0}$$ et o\`u $\Delta, \nabla$ sont les homomorphismes $$\Delta : M \rightarrow M \oplus M, \ x \mapsto (x,x) \ \ \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \ \ \nabla : N \oplus N \rightarrow N, \ (x,y) \mapsto x+y.$$
(\emph{Indication : on pourra commencer par construire un homomorphisme de $L$ dans $\Delta^*(u_*L \oplus u'_*L)$}.)

\indent 3.4. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que l'ensemble $\mathrm{Ext}(M,N)$ est naturellement muni d'une structure de $A$-module, que l'on d\'ecrira.

\vspace{0.1cm} 4) Soit $E \ : \ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & N' \ar@{->}[r]^f & \ar@{->}[r] N \ar@{->}[r]^g & N'' \ar@{->}[r] & 0}$ une suite exacte de $A$-modules et soit $M$ un $A$-module.

\indent 4.1. V\'erifier que l'application $\delta : \mathrm{Hom}_{A}(M,N'') \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N'), \ \ u \mapsto u^* E$, est $A$-lin\'eaire.

\indent 4.2. D\'emontrer que la suite de $A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_A (M,N') \ar@{->}[r]^{f_*} & \mathrm{Hom}_A (M,N) \ar@{->}[r]^{g_*} & \mathrm{Hom}_A (M,N'') \ar@{->}[d]^{\delta} \\ & \mathrm{Ext}(M,N'') & \mathrm{Ext}(M,N) \ar@{->}[l]_{g_*} & \mathrm{Ext}(M,N') \ar@{->}[l]_{f_*}}$$ est exacte.

\indent 4.3. Lorsque l'anneau $A$ est \emph{principal}, d\'emontrer que l'application $g_* : \mathrm{Ext}(M,N) \rightarrow \mathrm{Ext}(M,N'')$ est surjective. 
\end{document} 