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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Alg\`ebre - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries Sous-espaces caract\'eristiques - D\'ecomposition spectrale d'un endomorphisme - Exponentielle d'endomorphismes}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1.*} 1. Tout vecteur $x$ de $\E$ s'\'ecrit sous la forme $x = (x - \pi(x)) + \pi(x)$ et $x - \pi(x) \in \mathrm{Ker}(\pi)$, $\pi(x) \in \mathrm{Im}(\pi)$ en vertu de la condition $\pi^2 = \pi$. Cette d\'ecomposition est unique car $\mathrm{Ker}(\pi) \cap \mathrm{Im}(\pi) = \{0\}$ : un \'el\'ement $x$ de $\mathrm{Ker}(\pi) \cap \mathrm{Im}(\pi)$ s'\'ecrit sous la forme $x = \pi(y)$ avec $\pi^2(y)=0$, donc est nul puisque $\pi = \pi^2$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque : il est bon d'observer que tout projecteur $\pi$ est diagonalisable puisque le polyn\^ome $\T^2 - \T$ est scind\'e \`a racines simples sur $\K$ ; on a donc $\E = \mathrm{Ker}(\pi) \oplus \mathrm{Ker}(\pi - \mathrm{id}_{\E})$ et l'\'egalit\'e $\mathrm{Ker}(\pi - \mathrm{id}_{\E})=\mathrm{Im}(\pi)$ se d\'eduit imm\'ediatement de l'\'equation $\pi^2 = \pi$. Ainsi, la d\'ecomposition de $\E$ obtenue n'est pas autre chose que la d\'ecomposition en somme directes des sous-espaces propres de $\pi$...}

\vspace{0.1cm} Bien \'evidemment, la d\'ecomposition $\E = \mathrm{Ker}(u) \oplus \mathrm{Im}(u)$ ne garantit pas que l'endomorphisme $u$ soit un projecteur : pour obtenir un contre-exemple, il suffit de partir d'une d\'ecomposition $\E = \E' \oplus \E''$, de choisir un \emph{automorphisme} quelconque $u''$ de $\E''$ et de consid\'erer l'endomorphisme $u$ de $\E$ d\'efini par $u(x'+ x'') = u''(x'')$ ; on a $\E' = \mathrm{Ker}(u)$ et $\E'' = \mathrm{Im}(u)$, mais $u$ est un projecteur si et seulement si $u'' = \mathrm{id}_{\E''}$.

\vspace{0.2cm} 2. Comme on l'a remarqu\'e, $\mathrm{Im}(\pi) = \mathrm{Ker}(\pi - \mathrm{id}_{\E})$ est le sous-espace propre de $\pi$ associ\'e \`a la valeur propre $1$ ; en juxtaposant une base de $\mathrm{Ker}(\pi)$ et une base de $\mathrm{Im}(\pi)$, on obtient donc une base de $\E$ dans laquelle la matrice de $\pi$ est de la forme $$\left(\begin{array}{ll} (0) & (0) \\ (0) & \mathrm{I}_{r} \end{array} \right)$$ avec $r = \mathrm{dim} \ \mathrm{Im}(\pi) = \mathrm{rg}(\pi)$ et l'\'egalit\'e $\mathrm{rg}(\pi) = \mathrm{tr}(\pi)$ devient \'evidente.

\vspace{0.2cm} 3. \'Etant donn\'es deux projecteurs $\pi_1, \ \pi_2$, \begin{eqnarray*} (\pi_1 + \pi_2)^2 & = & \pi_1^2 + \pi_1 \circ \pi_2 + \pi_2 \circ \pi_1 + \pi_2^2 \\ & = & \pi_1 + \pi_2 + \pi_1 \circ \pi_2 + \pi_2 \circ \pi_1. \end{eqnarray*}
Si $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$, $\pi_1 + \pi_2$ est manifestement un projecteur.

R\'eciproquement, si $\pi_1 + \pi_2$ est un projecteur, $\pi_1 \circ \pi_2 = - \pi_2 \circ \pi_1$. Contrairement aux apparences, cette derni\`ere condition implique que $\pi_1$ et $\pi_2$ commutent : il en d\'ecoule en effet que $\pi_2$ \emph{stabilise} les sous-espaces $\mathrm{Ker}(\pi_1)$ et $\mathrm{Im}(\pi_1)$ (le v\'erifier!) et donc commute avec $\pi_1$ puisque tel est \'evidemment le cas sur $\mathrm{Ker}(\pi_1)$, o\`u $\pi_1 = 0$, et sur $\mathrm{Im}(\pi_1) = \mathrm{Ker}(\pi_1 - \mathrm{id}_{\E})$, o\`u $\pi_1 = \mathrm{id}$. Ainsi, si $\pi_1 + \pi_2$ est un projecteur, $\pi_1 \circ \pi_2 = - \pi_2 \circ \pi_1$ et $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1$, donc $2 \pi_1 \circ \pi_2 = 0$. Lorsque $2 \neq 0$ dans le corps $\K$ (c'est-\`a-dire lorsque la caract\'eristique de $\K$ n'est pas \'egale \`a $2$), nous en d\'eduisons $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$.

\vspace{0.1cm} \emph{Remarque : lorsque le corps $\K$ est de caract\'eristique $2$, $(u+v)^2 = u^2 + v^2$ pour tous endomorphismes $u, v $ qui commutent et la somme de deux projecteurs est donc un projecteur si et seulement si ceux-ci commutent.}

\vspace{0.2cm} 4. Dans cette derni\`ere question, $\pi_1 + \pi_2$ est un projecteur et $\K$ est de caract\'eristique diff\'erente de $2$ donc $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$.

L' inclusion $\mathrm{Ker}(\pi_1) \cap \mathrm{Ker}(\pi_2) \subset \mathrm{Ker}(\pi_1 + \pi_2)$ est \'evidente ; r\'eciproquement, \'etant donn\'e $x \in \mathrm{Ker}(\pi_1 + \pi_2)$, $\pi_1(x) = -\pi_2(x) = -\pi_2^2(x) = \pi_2(\pi_1(x)) = 0$ et donc $\mathrm{Ker}(\pi_1 + \pi_2) = \mathrm{Ker}(\pi_1) \cap \mathrm{Ker}(\pi_2)$.

Comme $\pi_1 \circ \pi_2 = 0$, $\mathrm{Im}(\pi_2) \subset \mathrm{Ker}(\pi_1)$ et donc $\mathrm{Im}(\pi_1) \cap \mathrm{Im}(\pi_2) = 0$. L'inclusion $\mathrm{Im}(\pi_1 + \pi_2) \subset \mathrm{Im}(\pi_1) \oplus \mathrm{Im}(\pi_2)$ est \'evidente ; r\'eciproquement, \'etant donn\'e $x \in \mathrm{Im}(\pi_1) \oplus \mathrm{Im}(\pi_2)$, $x = \pi_1(y) + \pi_2(z)$ et $\pi_1(x) = \pi_1^2(y) = \pi_1(y)$, $\pi_2(x) = \pi_2^2(z) = \pi_2(z)$, donc $x = \pi_1(x) + \pi_2(x) \in \mathrm{Im}(\pi_1 + \pi_2)$.

\vspace{0.1cm} \emph{Compl\'ement : il convient d'observer que les projecteurs $\pi \in \mathcal{L}(\E)$ sont les pendants alg\'ebriques des d\'ecompositions de l'espace vectoriel $\E$ en somme directe de deux sous-espaces vectoriels. De mani\`ere pr\'ecise, l'application $\pi \mapsto (\mathrm{Im}(\pi), \mathrm{Ker}(\pi))$ r\'ealise une \emph{bijection} entre l'ensemble des endomorphismes $\pi$ de $\E$ tels que $\pi^2 = \pi$  et l'ensemble des couples $(\E', \E'')$ form\'es de deux sous-espaces vectoriels \emph{suppl\'ementaires} de $\E$. \'Etant donn\'e un couples $(\E',\E'')$ de sous-espaces suppl\'ementaires, le projecteur $\pi$ correspondant est d\'efini par $\pi_{|\E'} = \mathrm{id}_{|\E'}$ et $\pi_{|\E''} = 0$ ; la permutation des sous-espaces $\E'$ et $\E''$ correspond au remplacement du projecteur $\pi$ par le projecteur $\mathrm{id}_{\E} - \pi$.}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2.*} \emph{Remarque pr\'eliminaire : l'\'enonc\'e suppose implictement que les applications $\pi : \E \rightarrow \E_i$ sont \emph{surjectives}.}

\vspace{0.1cm} Soient $\E_1, \ldots, \E_n$ des sous-espaces vectoriels de $\E$ tels que $\E = \E_1 \oplus \ldots \oplus \E_n$. \'Etant donn\'e $i \in \{1, \ldots, n\}$, il existe une unique application lin\'eaire $\pi_i : \E \rightarrow \E$ telle que $\pi_i(x) = x$ si $x \in \E_i$ et $\pi_i(x) = 0$ si $x \in \E_j$ avec $j \neq i$ (si cela ne vous semble pas tout-\`a-fait \'evident, il n'y a qu'\`a consid\'erer une base de $\E$ obtenue en juxtposant des bases de chacun des sous-espaces $\E_1, \ldots, \E_n$) ; on a \'evidemment $\mathrm{Im}(\pi_i) = \E_i$, $\mathrm{Ker}(\pi_i) = \bigoplus_{j \neq i} \E_j$, $\pi_i^2 = \pi_i$, $\pi_i \circ \pi_j = 0$ si $i \neq j$ et $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \ldots + \pi_n$.

\vspace{0.1cm} Soient r\'eciproquement $\pi_1, \ldots, \pi_n \in \mathcal{L}(\E)$ des projecteurs tels que $\mathrm{Im}(\pi_i) = \E_i$ pour tout $i$, $\pi_i \circ \pi_j=0$ pour tous $i,j$ avec $i \neq j$ et $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \ldots + \pi_n$. La d\'ecomposition de $\E$ en somme directe des sous-espaces $\E_i$ peut s'\'etablir en raisonnant par r\'ecurrence sur $n \geq 2$ \`a partir du cas $n=2$ \'etudi\'e \`a la question 4 de l'exercice pr\'ec\'edent, le point \'etant que $\pi'_p = \pi_1 + \ldots + \pi_p$ et $\pi_{p+1}$ sont des projecteurs tels que $\pi_p' \circ \pi_{p+1} = \pi_{p+1} \circ \pi_p' = 0$. Il est tout aussi simple de d\'emontrer directement notre assertion : la condition $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \ldots + \pi_n$ garantit que tout vecteur $x$ de $\E$ s'\'ecrit comme la somme des vecteurs $x_i = \pi_i(x) \in \mathrm{E}_i = \mathrm{Im}(\pi_i)$ et cette d\'ecomposition est unique car, si $x = x'_1 + \ldots + x'_n$ avec $x'_i \in \mathrm{Im}(\pi_i)$, $\pi_i(x) = \pi_i(x'_i)$ pour tout $i$ puisque $\pi_i \circ \pi_j = 0$ si $j \neq i$ et $x'_i = \pi_i(x'_i) = \pi_i(x)$ car $\mathrm{Im}(\pi_i) = \mathrm{Ker}(\mathrm{id}_{\E} - \pi_i)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3.*} 1. L'hypoth\`ese $\Q(\lambda) \neq 0$ signifie pr\'ecis\'ement que les polyn\^omes $(\T - \lambda)^k$ et $\Q$ sont premiers entre eux et on peut donc \'ecrire une identit\'e de B\'ezout $\U \Q + \V (\T - \lambda)^k = 1$ avec $\U, \ \V \in \K[\T]$.
L'inclusion $\mathrm{Ker}(\Q(u)) \subset \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k$ d\'ecoule imm\'ediatement de l'identit\'e $$\mathrm{id}_{\E} = \U(u) \Q(u) + \V(u) (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k = \U(u) \Q(u) + (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \V(u).$$ L'inclusion r\'eciproque est \'evidente puisque $\Q(u) (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k = m_u(u) = 0$.

\vspace{0.1cm} 2. Les identit\'es $\mathrm{id}_{\E} = \U(u)\Q(u) + \V(u)(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k = \Q(u)\U(u) + (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \V(u)$ et $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \Q(u) = 0$ impliquent imm\'ediatement la d\'ecomposition de $\E$ en somme directe des sous-espaces $\mathrm{Ker}(\Q(u))$ et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ (\emph{lemme de d\'ecomposition des noyaux}) ; vu la question pr\'ec\'edente, on obtient la d\'ecomposition $$\E = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \oplus \mathrm{Ker}(\Q(u)) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \oplus \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k.$$

\vspace{0.1cm} 3. Les sous-espaces $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ et $\mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ sont stables par $u$ car les endomorphismes $u$ et $u- \lambda \mathrm{id}_{\E}$ commutent. \'Ecrivant un vecteur quelconque $x$ de $\E$ sous la forme $x = x' + x''$ avec $x' \in \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ et $x'' \in \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ , \begin{eqnarray*} \rP(u)(x) & = & \rP(u)(x') + \rP(u)(x'') \\ & = & m'(u)(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(x') + (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})m'(u)(x'') =0 \end{eqnarray*} car le polyn\^ome $m'$ (resp. $\T - \lambda$) annule la restriction de $u$ au sous-espace $\mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k$ (resp. $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$) ; on a donc $\rP(u)=0$.

\vspace{0.1cm} Le polyn\^ome minimal $m_u$ de $u$ divise le polyn\^ome $(\T - \lambda)m'$ ; si l'on suppose en outre que $\lambda$ est une valeur propre de $u$, $m_u$ s'\'ecrit sous la forme $m_u = (T - \lambda) \tilde{m}$ et le polyn\^ome $\tilde{m}$ divise $m'$. Le scalaire $\lambda$ est une racine simple de $m_u$ si et seulement si $\tilde{m}(\lambda) \neq 0$ ; comme cette condition sera v\'erifi\'ee si $m'(\lambda) \neq 0$, il suffit de s'assurer que $\lambda$ n'est pas racine de $m'$.

Si l'on avait $m'(\lambda) = 0$, $\lambda$ serait une valeur propre de la restriction de $u$ au sous-espace $\mathrm{Im}(u-\lambda \mathrm{id}_{\E})$ et ce dernier contiendrait donc un vecteur non nul $x$ tel que $u(x) = \lambda x$. La condition $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \cap \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \{0\}$ montre que ceci est impossible ; on a donc $m'(\lambda) \neq 0$ et $\lambda$ est une racine simple de $m_u$.

\vspace{0.1cm} 4. Commen{\c c}ons par observer que les conditions

(i) $\E = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \oplus \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$

(i') $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \cap \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \{0\}$

\noindent sont \'equivalentes puisqu'on a d\'ej\`a l'\'egalit\'e $\mathrm{dim}(\E) = \mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) + \mathrm{dim} \ \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$. Les conditions

(ii) $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$

(ii') $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2 \subset \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$

\noindent sont \'egalement \'equivalentes en vertu de l'inclusion $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \subset \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$. Il en d\'ecoule que les conditions (i) et (ii) sont \'equivalentes si et seulement si les conditions (i') et (ii') le sont.

(i') $\Rightarrow$ (ii') : quel que soit $x \in \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$, $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(x)$ appartient simultan\'ement aux sous-espaces $\mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$, donc est nul.

(ii') $\Rightarrow$ (i') : quel que soit $x \in \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \cap \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$, $x = (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(y)$ avec $y \in \E$ et $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2 (y) = (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(x) = 0$ ; on a alors par hypoth\`ese $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(y) = 0$, d'o\`u $x =0$.

\vspace{0.1cm} 5. Supposons que l'endomorphisme $u$ soit diagonalisable. Chaque valeur propre $\lambda$ de $u$ est une racine simple du polyn\^ome minimal de $u$, donc $$\E = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \oplus \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$$ en vertu de la question 2 (avec $k=1$) et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ en vertu de la question 4.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4.*} --- En vertu du th\'eor\`eme du rang, les conditions $\mathrm{rg}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{rg}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ et $\mathrm{dim} \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{dim} \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ sont \'equivalentes et, vu l'inclusion $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$, elles sont \'egalement \'equivalentes \`a l'\'egalit\'e $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$.

Cette \'egalit\'e est \'evidemment v\'erifi\'ee si $\lambda$ n'est pas une valeur propre de $u$ : en effet, l'endomorphisme $u - \lambda \mathrm{id}_{\E}$ est alors injectif et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2 = \{0\}$.

\vspace{0.1cm} L'exercice conciste donc \`a v\'erifier que l'endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si $$\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$$ pour toute valeur propre $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$.

Si $u$ est diagonalisable, cette \'egalit\'e a \'et\'e prouv\'ee \`a la fin de l'exercice pr\'ec\'edent.

R\'eciproquement, si $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ pour toute valeur propre $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$, un raisonnement par r\'ecurrence imm\'ediat permet d'\'etablir l'\'egalit\'e $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^p$ pour tout $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$ et tout entier naturel $p \geq 1$ ; de mani\`ere \'equivalente, chaque sous-espace caract\'eristique de $u$ co\"{\i}ncide avec le  sous-espace propre correspondant. Le polyn\^ome caract\'eristique de $u$ \'etant scind\'e, $\E$ est la somme directe des sous-espaces caract\'eristiques de $u$ ; c'est donc \'egalement la somme directe des sous-espaces propres de $u$ et l'endomorphisme $u$ est diagonalisable.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 7.*} --- 1. Les polyn\^omes $(\T - 1)^2$ et $\T - 2$ sont premiers entre eux et $(\T-1)^2 - \T(\T-2) = 1$ est une relation de B\'ezout. On en d\'eduit comme d'habitude que les endomorphismes $\pi_2 = -(u - \mathrm{id}_{\E})^2$ et $\pi_1 = u(u - 2\mathrm{id}_{\E})$ sont des projecteurs tels que $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$ et $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \pi_2$, d'images respectives $\mathrm{Ker}(u - 2\mathrm{id}_{\E})$ et $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\E})^2$, d'o\`u la d\'ecomposition $$\E = \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id}_{\E})^2 \oplus \mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\E}).$$

\vspace{0.1cm} 2. Les projecteurs spectraux $\pi_1$ et $\pi_2$ \'etant des polyn\^omes en $u$, ils commutent avec $u$.

On a $u \pi_2 = 2 \pi_2$ puisque $\mathrm{Im}(\pi_2) = \mathrm{Ker}(u-2\mathrm{id}_{\E})$ et $u \pi_1 = \pi_1 + (u - \mathrm{id}_{\E}) \pi_1$ avec $[(u - \mathrm{id}_{\E})\pi_1]^2 =  (u - \mathrm{id}_{\E})^2 \pi_1 = 0$ puisque $\mathrm{Im}(\pi_1) = \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id}_{\E})^2$. On en d\'eduit  $$e^u \pi_2 = \mathrm{e}^2 \pi_2$$ et \begin{eqnarray*} e^u \pi_1 & = & e^{\pi_1u} \\ & = & e^{\pi_1}e^{(u - \mathrm{id}_{\E})\pi_1} \\ & = & (e\pi_1)(\mathrm{id}_{\E} + (u-\mathrm{id}_{\E})\pi_1) \\ & = & eu\pi_1. \end{eqnarray*}

\vspace{0.1cm} 3. C'est d\'ej\`a fait...

\vspace{0.1cm} 4. Nous obtenons finalement \begin{eqnarray*} e^u & = & e^u(\pi_1 + \pi_2) \\ & = & e^u \pi_1 + e^u \pi_2 \\ & = & e u\pi_1 + e^2 \pi_2 \\ & = & eu^2(u-2\mathrm{\E}) - e^2(u-\mathrm{id}_{\E}) \\ & = & e u^3 - (e^2 + 2e)u^2 + 2e^2u - e^2 \mathrm{id}_{\E}.\end{eqnarray*}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 8.*} --- \emph{Les matrices sont donn\'ees sans garantie et il est fortement conseill\'e de v\'erifier tous les calculs!}

(i) On v\'erifie que $\mathrm{Sp}(u) = \{2,3,4\}$, de sorte que le polyn\^ome minimal de $u$ est $(\T - 2)(\T - 3)(\T -4)$. En d\'ecomposant la fraction rationnelle $(\T -2)^{-1}(\T - 3)^{-1}(\T - 4)^{-1}$ en \'el\'ements simples, on obtient l'identit\'e $$\frac{1}{2}(\T-3)(\T-4) - (\T-2)(\T-4) + \frac{1}{2}(\T-2)(\T-3) = 1,$$ qui est une relation de B\'ezout pour les polyn\^omes premiers entre eux $(\T-3)(\T-4), \ (\T-2)(\T-4)$ et $(\T-2)(\T-3)$. Les endomorphismes $$\pi_2 = \frac{1}{2}(u - 3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}), \ \pi_3 = -(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u - 4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}) \ \textrm{et} \ \pi_4 = \frac{1}{2}(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u-3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$$ sont les projecteurs spectraux sur les sous-espaces propres $\mathrm{Ker}(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$, $\mathrm{Ker}(u - 3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ et $\mathrm{Ker}(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ respectivement. Leurs matrices respectives dans la base canonique sont $$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{lll} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & -1 \end{array} \right), \ \left(\begin{array}{lll} -4 & 1 & -4 \\ -4 & 1 & -4 \\ 4 & -1 & 4 \end{array} \right), \ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{lll} 7 & 0 & 7 \\ 8 & 0 & 8 \\ -5 & 0 & -5 \end{array} \right).$$
Partant de l'identit\'e $\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3} = \pi_2 + \pi_3 + \pi_4$, on obtient $$u^n = 2^n \pi_2 + 3^n \pi_3 + 4^n \pi_4$$ pour tout entier naturel $n$ et la matrice de $u^n$ dans la base canonique est $$\A^n = \left( \begin{array}{lll} 3. 2^{n-1} - 4. 3^n + 14. 4^{n-1} & -2^n + 3^n & 2^{n-1}-4.3^n + 14. 4^{n-1} \\ -4.3^n + 4^{n+1} & 3^n & -4.3^n + 4^{n+1} \\ -3. 2^{n-1} + 4. 3^n - 10. 4^{n-1} & 2^n-3^n & -2^{n-1}+4.3^n - 10. 4^{n-1}\end{array}\right).$$
On a enfin $$e^{tu} = e^{2t}\pi_2 + e^{3t}\pi_3 + e^{4t}\pi_4$$ pour tout nombre r\'eel $t$ et la matrice de cet endomorphisme dans la base canonique est $$e^{t\A} = \left( \begin{array}{lll}\frac{3}{2}e^{2t} - 4e^{3t} + \frac{7}{2}e^{4t} & -e^{2t}+e^{3t} & \frac{1}{2}e^{2t} - 4e^{3t}+\frac{7}{2}e^{4t} \\ -4e^{3t} + 4e^{4t} & e^{3t} & -4e^{3t} + 4e^{4t} \\ -\frac{3}{2}e^{2t} + 4e^{3t} - \frac{5}{2}e^{4t} & e^{2t}-e^{3t} & -\frac{1}{2}e^{2t} +4e^{3t}-\frac{5}{2}e^{4t} \end{array} \right).$$

\vspace{0.1cm} (ii) On v\'erifie que $\mathrm{Sp}(u) = \{1,4\}$, la valeur propre \'etant de multiplicit\'e g\'eom\'etrique \'egale \`a $2$ ; l'endomorphisme $u$ est donc diagonalisable et son polyn\^ome minimal est $(\T -1)(\T-4)$.

En proc\'edant comme en (i), on obtient les expressions $$\pi_1 = -\frac{1}{3}(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}) \ \ \textrm{et} \ \ \pi_4 = \frac{1}{3}(u - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$$ pour les projecteurs spectraux sur les sous-espaces propres $\mathrm{Ker}(u-\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ et $\mathrm{Ker}(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ respectivement. Leurs matrices dans la base canonique s'en d\'eduit imm\'ediatement. Enfin, $$u^n = \pi_1 + 4^n \pi_4 \ \ \textrm{et} \ \ \B^n = \left(\begin{array}{lll} -2 + 4^n & 1+4^n & 1+ 4^n \\ 1+4^n & -2+4^n & 1+4^n \\ 1+4^n & 1+4^n & -2+4^n\end{array}\right)$$ pour tout entier naturel $n$ et $$e^{tu} = e^t \pi_1 + e^{4t}\pi_4,  \ \ \ e^{t\B} = \frac{1}{3}\left( \begin{array}{lll} -2e^t + e^{4t} & e^t + e^{4t} & e^t+e^{4t} \\ e^t +e^{4t} & -2e^t + e^{4t} & e^t +e^{4t} \\ e^t +e^{4t} & e^t + e^{4t} & -2e^t+e^{4t}\end{array}\right)$$ pour tout nombre r\'eel $t$.

\vspace{0.1cm} (iii) On v\'erifie que $\mathrm{Sp}(u) = \{1,2\}$, la valeur propre $2$ \'etant de multiplicit\'e alg\'ebrique $2$ mais de multiplicit\'e g\'eom\'etrique $1$ seulement. Cet endomorphisme n'est pas diagonalisable et son polyn\^ome minimal est $(\T-1)(\T-2)^2$. On obtient une relation de B\'ezout entre $T - 1$ et $(\T - 2)^2$ en faisant la division euclidienne du second par le premier : $$1 = (\T-2)^2 - (\T-1)(\T-3).$$ Les projecteurs spectraux sur les sous-espaces caract\'eristiques $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ et $\mathrm{Ker}(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})^2$ sont respectivement $$\pi_1 = (u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})^2 \ \ \textrm{et} \ \ \pi_2 = -(u-\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u - 3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}),$$ de matrices $$\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array} \right) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$ dans la base canonique.

Avant de calculer $u^n$ et $e^{tu}$, observons que $u\pi_2 = 2\pi_2 + (u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$ avec $[(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2]^2 = 0$, de sorte que $u^n \pi_2 = (u\pi_2)^n = 2^n \pi_2 + n2^{n-1}(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$ et $e^{tu}\pi_2 = e^{2t}\pi_2 + e^{2t}t(u - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$. La matrice de $(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$ dans la base canonique est $$\left(\begin{array}{lll} -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ et on a par cons\'equent : $$u^n = \pi_1 + 2^n\pi_2 + (u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2, \ \ \ \C^n = \left(\begin{array}{lll} 1 - n2^n & 2^{n-1}n & (n+1)2^n -1 \\ 2(1 - 2^{n}) & 2^n & 2(2^{n}-1) \\ -n2^n & n2^{n-1} & (n+1)2^n \end{array}\right)$$ pour tout entier naturel $n$ et $$e^{tu} = e^t \pi_1 + e^{2t}\pi_2 + te^{2t}(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2, \ \ \ e^{t\C} = \left( \begin{array}{lll} e^t - 2te^{2t} & te^{2t} & -e^t+(1+2t)e^{2t} \\ 2e^t - 2e^{2t} & e^{2t} & 2(e^{2t} -e^{t} \\ -2te^{2t} & te^{2t} & (1+2t)e^{2t}\end{array}\right)$$ pour tout nombre r\'eel $t$.



\end{document} 