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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Alg\`ebre - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries Sous-espaces caract\'eristiques - D\'ecomposition spectrale d'un endomorphisme - Exponentielle d'endomorphismes}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1.*} 1. Tout vecteur $x$ de $\E$ s'\'ecrit sous la forme $x = (x - \pi(x)) + \pi(x)$ et $x - \pi(x) \in \mathrm{Ker}(\pi)$, $\pi(x) \in \mathrm{Im}(\pi)$ en vertu de la condition $\pi^2 = \pi$. Cette d\'ecomposition est unique car $\mathrm{Ker}(\pi) \cap \mathrm{Im}(\pi) = \{0\}$ : un \'el\'ement $x$ de $\mathrm{Ker}(\pi) \cap \mathrm{Im}(\pi)$ s'\'ecrit sous la forme $x = \pi(y)$ avec $\pi^2(y)=0$, donc est nul puisque $\pi = \pi^2$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque : il est bon d'observer que tout projecteur $\pi$ est diagonalisable puisque le polyn\^ome $\T^2 - \T$ est scind\'e \`a racines simples sur $\K$ ; on a donc $\E = \mathrm{Ker}(\pi) \oplus \mathrm{Ker}(\pi - \mathrm{id}_{\E})$ et l'\'egalit\'e $\mathrm{Ker}(\pi - \mathrm{id}_{\E})=\mathrm{Im}(\pi)$ se d\'eduit imm\'ediatement de l'\'equation $\pi^2 = \pi$. Ainsi, la d\'ecomposition de $\E$ obtenue n'est pas autre chose que la d\'ecomposition en somme directes des sous-espaces propres de $\pi$...}

\vspace{0.1cm} Bien \'evidemment, la d\'ecomposition $\E = \mathrm{Ker}(u) \oplus \mathrm{Im}(u)$ ne garantit pas que l'endomorphisme $u$ soit un projecteur : pour obtenir un contre-exemple, il suffit de partir d'une d\'ecomposition $\E = \E' \oplus \E''$, de choisir un \emph{automorphisme} quelconque $u''$ de $\E''$ et de consid\'erer l'endomorphisme $u$ de $\E$ d\'efini par $u(x'+ x'') = u''(x'')$ ; on a $\E' = \mathrm{Ker}(u)$ et $\E'' = \mathrm{Im}(u)$, mais $u$ est un projecteur si et seulement si $u'' = \mathrm{id}_{\E''}$.

\vspace{0.2cm} 2. Comme on l'a remarqu\'e, $\mathrm{Im}(\pi) = \mathrm{Ker}(\pi - \mathrm{id}_{\E})$ est le sous-espace propre de $\pi$ associ\'e \`a la valeur propre $1$ ; en juxtaposant une base de $\mathrm{Ker}(\pi)$ et une base de $\mathrm{Im}(\pi)$, on obtient donc une base de $\E$ dans laquelle la matrice de $\pi$ est de la forme $$\left(\begin{array}{ll} (0) & (0) \\ (0) & \mathrm{I}_{r} \end{array} \right)$$ avec $r = \mathrm{dim} \ \mathrm{Im}(\pi) = \mathrm{rg}(\pi)$ et l'\'egalit\'e $\mathrm{rg}(\pi) = \mathrm{tr}(\pi)$ devient \'evidente.

\vspace{0.2cm} 3. \'Etant donn\'es deux projecteurs $\pi_1, \ \pi_2$, \begin{eqnarray*} (\pi_1 + \pi_2)^2 & = & \pi_1^2 + \pi_1 \circ \pi_2 + \pi_2 \circ \pi_1 + \pi_2^2 \\ & = & \pi_1 + \pi_2 + \pi_1 \circ \pi_2 + \pi_2 \circ \pi_1. \end{eqnarray*}
Si $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$, $\pi_1 + \pi_2$ est manifestement un projecteur.

R\'eciproquement, si $\pi_1 + \pi_2$ est un projecteur, $\pi_1 \circ \pi_2 = - \pi_2 \circ \pi_1$. Contrairement aux apparences, cette derni\`ere condition implique que $\pi_1$ et $\pi_2$ commutent : il en d\'ecoule en effet que $\pi_2$ \emph{stabilise} les sous-espaces $\mathrm{Ker}(\pi_1)$ et $\mathrm{Im}(\pi_1)$ (le v\'erifier!) et donc commute avec $\pi_1$ puisque tel est \'evidemment le cas sur $\mathrm{Ker}(\pi_1)$, o\`u $\pi_1 = 0$, et sur $\mathrm{Im}(\pi_1) = \mathrm{Ker}(\pi_1 - \mathrm{id}_{\E})$, o\`u $\pi_1 = \mathrm{id}$. Ainsi, si $\pi_1 + \pi_2$ est un projecteur, $\pi_1 \circ \pi_2 = - \pi_2 \circ \pi_1$ et $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1$, donc $2 \pi_1 \circ \pi_2 = 0$. Lorsque $2 \neq 0$ dans le corps $\K$ (c'est-\`a-dire lorsque la caract\'eristique de $\K$ n'est pas \'egale \`a $2$), nous en d\'eduisons $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$.

\vspace{0.1cm} \emph{Remarque : lorsque le corps $\K$ est de caract\'eristique $2$, $(u+v)^2 = u^2 + v^2$ pour tous endomorphismes $u, v $ qui commutent et la somme de deux projecteurs est donc un projecteur si et seulement si ceux-ci commutent.}

\vspace{0.2cm} 4. Dans cette derni\`ere question, $\pi_1 + \pi_2$ est un projecteur et $\K$ est de caract\'eristique diff\'erente de $2$ donc $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$.

L' inclusion $\mathrm{Ker}(\pi_1) \cap \mathrm{Ker}(\pi_2) \subset \mathrm{Ker}(\pi_1 + \pi_2)$ est \'evidente ; r\'eciproquement, \'etant donn\'e $x \in \mathrm{Ker}(\pi_1 + \pi_2)$, $\pi_1(x) = -\pi_2(x) = -\pi_2^2(x) = \pi_2(\pi_1(x)) = 0$ et donc $\mathrm{Ker}(\pi_1 + \pi_2) = \mathrm{Ker}(\pi_1) \cap \mathrm{Ker}(\pi_2)$.

Comme $\pi_1 \circ \pi_2 = 0$, $\mathrm{Im}(\pi_2) \subset \mathrm{Ker}(\pi_1)$ et donc $\mathrm{Im}(\pi_1) \cap \mathrm{Im}(\pi_2) = 0$. L'inclusion $\mathrm{Im}(\pi_1 + \pi_2) \subset \mathrm{Im}(\pi_1) \oplus \mathrm{Im}(\pi_2)$ est \'evidente ; r\'eciproquement, \'etant donn\'e $x \in \mathrm{Im}(\pi_1) \oplus \mathrm{Im}(\pi_2)$, $x = \pi_1(y) + \pi_2(z)$ et $\pi_1(x) = \pi_1^2(y) = \pi_1(y)$, $\pi_2(x) = \pi_2^2(z) = \pi_2(z)$, donc $x = \pi_1(x) + \pi_2(x) \in \mathrm{Im}(\pi_1 + \pi_2)$.

\vspace{0.1cm} \emph{Compl\'ement : il convient d'observer que les projecteurs $\pi \in \mathcal{L}(\E)$ sont les pendants alg\'ebriques des d\'ecompositions de l'espace vectoriel $\E$ en somme directe de deux sous-espaces vectoriels. De mani\`ere pr\'ecise, l'application $\pi \mapsto (\mathrm{Im}(\pi), \mathrm{Ker}(\pi))$ r\'ealise une \emph{bijection} entre l'ensemble des endomorphismes $\pi$ de $\E$ tels que $\pi^2 = \pi$  et l'ensemble des couples $(\E', \E'')$ form\'es de deux sous-espaces vectoriels \emph{suppl\'ementaires} de $\E$. \'Etant donn\'e un couples $(\E',\E'')$ de sous-espaces suppl\'ementaires, le projecteur $\pi$ correspondant est d\'efini par $\pi_{|\E'} = \mathrm{id}_{|\E'}$ et $\pi_{|\E''} = 0$ ; la permutation des sous-espaces $\E'$ et $\E''$ correspond au remplacement du projecteur $\pi$ par le projecteur $\mathrm{id}_{\E} - \pi$.}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2.*} \emph{Remarque pr\'eliminaire : l'\'enonc\'e suppose implictement que les applications $\pi : \E \rightarrow \E_i$ sont \emph{surjectives}.}

\vspace{0.1cm} Soient $\E_1, \ldots, \E_n$ des sous-espaces vectoriels de $\E$ tels que $\E = \E_1 \oplus \ldots \oplus \E_n$. \'Etant donn\'e $i \in \{1, \ldots, n\}$, il existe une unique application lin\'eaire $\pi_i : \E \rightarrow \E$ telle que $\pi_i(x) = x$ si $x \in \E_i$ et $\pi_i(x) = 0$ si $x \in \E_j$ avec $j \neq i$ (si cela ne vous semble pas tout-\`a-fait \'evident, il n'y a qu'\`a consid\'erer une base de $\E$ obtenue en juxtposant des bases de chacun des sous-espaces $\E_1, \ldots, \E_n$) ; on a \'evidemment $\mathrm{Im}(\pi_i) = \E_i$, $\mathrm{Ker}(\pi_i) = \bigoplus_{j \neq i} \E_j$, $\pi_i^2 = \pi_i$, $\pi_i \circ \pi_j = 0$ si $i \neq j$ et $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \ldots + \pi_n$.

\vspace{0.1cm} Soient r\'eciproquement $\pi_1, \ldots, \pi_n \in \mathcal{L}(\E)$ des projecteurs tels que $\mathrm{Im}(\pi_i) = \E_i$ pour tout $i$, $\pi_i \circ \pi_j=0$ pour tous $i,j$ avec $i \neq j$ et $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \ldots + \pi_n$. La d\'ecomposition de $\E$ en somme directe des sous-espaces $\E_i$ peut s'\'etablir en raisonnant par r\'ecurrence sur $n \geq 2$ \`a partir du cas $n=2$ \'etudi\'e \`a la question 4 de l'exercice pr\'ec\'edent, le point \'etant que $\pi'_p = \pi_1 + \ldots + \pi_p$ et $\pi_{p+1}$ sont des projecteurs tels que $\pi_p' \circ \pi_{p+1} = \pi_{p+1} \circ \pi_p' = 0$. Il est tout aussi simple de d\'emontrer directement notre assertion : la condition $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \ldots + \pi_n$ garantit que tout vecteur $x$ de $\E$ s'\'ecrit comme la somme des vecteurs $x_i = \pi_i(x) \in \mathrm{E}_i = \mathrm{Im}(\pi_i)$ et cette d\'ecomposition est unique car, si $x = x'_1 + \ldots + x'_n$ avec $x'_i \in \mathrm{Im}(\pi_i)$, $\pi_i(x) = \pi_i(x'_i)$ pour tout $i$ puisque $\pi_i \circ \pi_j = 0$ si $j \neq i$ et $x'_i = \pi_i(x'_i) = \pi_i(x)$ car $\mathrm{Im}(\pi_i) = \mathrm{Ker}(\mathrm{id}_{\E} - \pi_i)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3.*} 1. L'hypoth\`ese $\Q(\lambda) \neq 0$ signifie pr\'ecis\'ement que les polyn\^omes $(\T - \lambda)^k$ et $\Q$ sont premiers entre eux et on peut donc \'ecrire une identit\'e de B\'ezout $\U \Q + \V (\T - \lambda)^k = 1$ avec $\U, \ \V \in \K[\T]$.
L'inclusion $\mathrm{Ker}(\Q(u)) \subset \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k$ d\'ecoule imm\'ediatement de l'identit\'e $$\mathrm{id}_{\E} = \U(u) \Q(u) + \V(u) (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k = \U(u) \Q(u) + (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \V(u).$$ L'inclusion r\'eciproque est \'evidente puisque $\Q(u) (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k = m_u(u) = 0$.

\vspace{0.1cm} 2. Les identit\'es $\mathrm{id}_{\E} = \U(u)\Q(u) + \V(u)(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k = \Q(u)\U(u) + (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \V(u)$ et $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \Q(u) = 0$ impliquent imm\'ediatement la d\'ecomposition de $\E$ en somme directe des sous-espaces $\mathrm{Ker}(\Q(u))$ et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ (\emph{lemme de d\'ecomposition des noyaux}) ; vu la question pr\'ec\'edente, on obtient la d\'ecomposition $$\E = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \oplus \mathrm{Ker}(\Q(u)) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k \oplus \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k.$$

\vspace{0.1cm} 3. Les sous-espaces $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ et $\mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ sont stables par $u$ car les endomorphismes $u$ et $u- \lambda \mathrm{id}_{\E}$ commutent. \'Ecrivant un vecteur quelconque $x$ de $\E$ sous la forme $x = x' + x''$ avec $x' \in \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ et $x'' \in \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ , \begin{eqnarray*} \rP(u)(x) & = & \rP(u)(x') + \rP(u)(x'') \\ & = & m'(u)(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(x') + (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})m'(u)(x'') =0 \end{eqnarray*} car le polyn\^ome $m'$ (resp. $\T - \lambda$) annule la restriction de $u$ au sous-espace $\mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^k$ (resp. $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$) ; on a donc $\rP(u)=0$.

\vspace{0.1cm} Le polyn\^ome minimal $m_u$ de $u$ divise le polyn\^ome $(\T - \lambda)m'$ ; si l'on suppose en outre que $\lambda$ est une valeur propre de $u$, $m_u$ s'\'ecrit sous la forme $m_u = (T - \lambda) \tilde{m}$ et le polyn\^ome $\tilde{m}$ divise $m'$. Le scalaire $\lambda$ est une racine simple de $m_u$ si et seulement si $\tilde{m}(\lambda) \neq 0$ ; comme cette condition sera v\'erifi\'ee si $m'(\lambda) \neq 0$, il suffit de s'assurer que $\lambda$ n'est pas racine de $m'$.

Si l'on avait $m'(\lambda) = 0$, $\lambda$ serait une valeur propre de la restriction de $u$ au sous-espace $\mathrm{Im}(u-\lambda \mathrm{id}_{\E})$ et ce dernier contiendrait donc un vecteur non nul $x$ tel que $u(x) = \lambda x$. La condition $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \cap \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \{0\}$ montre que ceci est impossible ; on a donc $m'(\lambda) \neq 0$ et $\lambda$ est une racine simple de $m_u$.

\vspace{0.1cm} 4. Commen{\c c}ons par observer que les conditions

(i) $\E = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \oplus \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$

(i') $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \cap \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \{0\}$

\noindent sont \'equivalentes puisqu'on a d\'ej\`a l'\'egalit\'e $\mathrm{dim}(\E) = \mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) + \mathrm{dim} \ \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$. Les conditions

(ii) $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$

(ii') $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2 \subset \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$

\noindent sont \'egalement \'equivalentes en vertu de l'inclusion $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \subset \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$. Il en d\'ecoule que les conditions (i) et (ii) sont \'equivalentes si et seulement si les conditions (i') et (ii') le sont.

(i') $\Rightarrow$ (ii') : quel que soit $x \in \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$, $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(x)$ appartient simultan\'ement aux sous-espaces $\mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$ et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$, donc est nul.

(ii') $\Rightarrow$ (i') : quel que soit $x \in \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \cap \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$, $x = (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(y)$ avec $y \in \E$ et $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2 (y) = (u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(x) = 0$ ; on a alors par hypoth\`ese $(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})(y) = 0$, d'o\`u $x =0$.

\vspace{0.1cm} 5. Supposons que l'endomorphisme $u$ soit diagonalisable. Chaque valeur propre $\lambda$ de $u$ est une racine simple du polyn\^ome minimal de $u$, donc $$\E = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) \oplus \mathrm{Im}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})$$ en vertu de la question 2 (avec $k=1$) et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ en vertu de la question 4.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4.*} --- En vertu du th\'eor\`eme du rang, les conditions $\mathrm{rg}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{rg}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ et $\mathrm{dim} \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{dim} \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ sont \'equivalentes et, vu l'inclusion $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$, elles sont \'egalement \'equivalentes \`a l'\'egalit\'e $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$.

Cette \'egalit\'e est \'evidemment v\'erifi\'ee si $\lambda$ n'est pas une valeur propre de $u$ : en effet, l'endomorphisme $u - \lambda \mathrm{id}_{\E}$ est alors injectif et $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2 = \{0\}$.

\vspace{0.1cm} L'exercice conciste donc \`a v\'erifier que l'endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si $$\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$$ pour toute valeur propre $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$.

Si $u$ est diagonalisable, cette \'egalit\'e a \'et\'e prouv\'ee \`a la fin de l'exercice pr\'ec\'edent.

R\'eciproquement, si $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^2$ pour toute valeur propre $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$, un raisonnement par r\'ecurrence imm\'ediat permet d'\'etablir l'\'egalit\'e $\mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E}) = \mathrm{Ker}(u - \lambda \mathrm{id}_{\E})^p$ pour tout $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$ et tout entier naturel $p \geq 1$ ; de mani\`ere \'equivalente, chaque sous-espace caract\'eristique de $u$ co\"{\i}ncide avec le  sous-espace propre correspondant. Le polyn\^ome caract\'eristique de $u$ \'etant scind\'e, $\E$ est la somme directe des sous-espaces caract\'eristiques de $u$ ; c'est donc \'egalement la somme directe des sous-espaces propres de $u$ et l'endomorphisme $u$ est diagonalisable.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5.} --- 1. On voit facilement que $1$ et $2$ sont des valeurs propres de $u$. Les sous-espace propres correspondants sont $$\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5}) = \mathbb{R} \X_1 \oplus \mathbb{R} \X_2 \ \  \ \textrm{et} \ \ \ \mathrm{Ker}(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^5}) = \mathbb{R} \X_4$$ avec $$\X_1 = \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \ \X_2 = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \ \textrm{et} \ \ \X_4 = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array} \right).$$
Comme $\mathrm{tr}(u) = 7$ et $\mathrm{det}(u) = 4$, les deux derni\`eres valeurs propres de $u$ sont les solutions des \'equations $x+y = 3$ et $xy = 2$, c'est-\`a-dire $1$ et $2$, et le polyn\^ome caract\'eristique de $u$ est donc $-(\T - 1)^3(\T-2)^2$. Nous en d\'eduisons que les deux sous-espaces caract\'eristiques de $u$ sont $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^3$ et $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^2$.

\vspace{0.1cm} Bien que ce ne soit pas demand\'e, on voit facilement que le polyn\^ome minimal de $u$ est $(\T-1)^2(\T-2)^2$. En effet, les multiplicit\'es alg\'ebriques de $1$ et $2$ \'etant strictement sup\'erieures \`a leurs multiplicit\'es g\'eom\'etriques, les sous-espaces propres $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})$ et $\mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\Rb^5})$ sont distincts des sous-espaces caract\'eristiques correspondants ; les inclusions $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5}) \subset \mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^2$ et $\mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\Rb^5}) \subset \mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\Rb^5})^2$ sont donc strictes et la d\'ecomposition $$\Rb^5 = \mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^2 \oplus \mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\Rb^5})^2$$ s'en d\'eduit en consid\'erant les dimensions. Le polyn\^ome minimal de $u$ est donc bien $(\T - 1)^2(\T - 2)^2$ et $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^3 = \mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^2$.

\vspace{0.1cm} 2. Toute base de $\mathbb{R}^5$ obtenue en juxtaposant une base de chacun des sous-espaces caract\'eristiques de $u$ a la propri\'et\'e d\'esir\'ee.

On obtient une base de $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})$ en adjoignant \`a la base $(\X_1, \X_2)$ de $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})$ un vecteur $\X_3$ tel que $(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})^2 \X_3 = 0$ et $(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})\X_3 \neq 0$, ou encore tel que $(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})\X_3$ soit un vecteur non nul de $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\Rb^5})$. Il suffit pour cela de d\'eterminer une solution $(\X_3, \lambda_1, \lambda_2)$ de l'\'equation lin\'eaire $(u - \mathrm{id}_{\E})\X_3 = \X_3 + \lambda_1 \X_1 + \lambda_2 \X_2$ telle que $(\lambda_1, \lambda_2) \neq (0,0)$ et, tous calculs faits, le triplet $(\X_3,0,1)$, o\`u $$\X_3 = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),$$ convient. Un raisonnement analogue montre que l'on obtient une base de $\mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\Rb^5})^2$ en adjoignant \`a $\X_4$ le vecteur $$\X_5 = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right),$$ solution de l'\'equation $(u - 2\mathrm{id}_{\Rb^5}) \X_5 = 2 \X_5 + \X_4.$

\vspace{0.1cm} Dans la base $(\X_1, \X_2, \X_3, \X_4, \X_5)$, la matrice de $u$ est sous forme r\'eduite de Jordan : $$\left(\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6.} --- 1. Commen{\c c}ons par supposer $\K = \mathbb{C}$. Par application du th\'eor\`eme de Dunford-Jordan, il existe une base de $\E$ dans laquelle de la matrice de $u$ est de la forme $\D + \N$, o\`u $\D$ est une matrice diagonale, $\N$ est une matrice triangulaire sup\'erieure dont la diagonale est nulle et $\D\N = \N \D$. La matrice de l'endomorphisme $e^u$ dans cette base est $e^{\D}e^{\N}$ et, comme la matrice $e^{\N} = (\Ir_n + \N + \frac{1}{2}\N^2 + \ldots + \frac{1}{n!}\N^n)$ est triangulaire sup\'erieure avec des $1$ sur la diagonale, 
$$\mathrm{det}(e^u) = \mathrm{e}^{\D + \N} = \mathrm{det}(e^{\D})\mathrm{det}(e^{\N}) = \mathrm{det}(e^{\D}) = e^{\mathrm{tr}(\D)} = e^{\mathrm{tr}(u)}.$$

\vspace{0.1cm} Lorsque $\K = \mathbb{R}$, on commence par consid\'erer la matrice $\M$ de $u$ dans une base de $\E$ et on applique ce quî pr\'ec\`ede \`a $\M$ en consid\'erant cette matrice comme une matrice \`a coefficients dans $\mathbb{C}$ : $\mathrm{det}(e^{\M}) = e^{\mathrm{tr}(\M)}$ ; la conclusion d\'ecoule alors des identit\'es $\mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}(\M)$ et $\mathrm{det}(e^u) = \mathrm{det}(e^{\M})$.

\vspace{0.1cm} 2. Supposons que l'endomorphisme $u$ soit nilpotent et soit $k$ un entier naturel tel que $u^{k+1}=0$. On a $$e^u - \mathrm{id}_{\E} = u + \frac{1}{2}u^2 + \ldots + \frac{1}{k!}u^k$$ et l'inclusion $\mathrm{Ker}(u) \subset \mathrm{Ker}(e^u - \mathrm{id}_{\E})$ est \'evidente. Pour \'etablir l'inclusion r\'eciproque, observons que, pour tout vecteur $x$ dans $\mathrm{Ker}(e^u - \mathrm{id}_{\E})$, $$u(x) = -\frac{1}{2}u^2(x) - \ldots - \frac{1}{k!}u^k(x)$$ donc $$u(x) = \left(-\frac{1}{2}u + \ldots + \frac{1}{k!}u^{k-1}\right)(u(x)).$$ En substituant la premi\`ere expression de $u(x)$ dans la seconde, on obtient une \'ecriture de $u(x)$ comme combinaison lin\'eaire des vecteurs $u^3(x), \ldots, u^k(x)$ et un raisonnement par r\'ecurrence imm\'ediat permet d'\'etablir $$u(x) \in \mathrm{Vect}(u^p(x), \ p \geq p_0)$$ pour tout entier $p_0 \geq 1$. Appliquant ce dernier r\'esultat avec $p_0=k+1$, la nullit\'e de $u^{k+1}$ implique celle de $u(x)$ et donc $x \in \mathrm{Ker}(u)$.

\vspace{0.1cm} 3. Les trois premi\`eres matrices ne posent pas de probl\`eme puisqu'elles sont de la forme $\D + \N$ avec $\D$ diagonale, $\N$ nilpotente et $\D\N = \N\D$. On obtient respectivement $$\left(\begin{array}{ll} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} \end{array} \right), \ \left(\begin{array}{ll} e^{\lambda} & e^{\lambda}\vartheta \\ 0 & e^{\lambda} \end{array} \right) \ \textrm{et} \ \left( \begin{array}{ll} e^{\lambda} & 0 \\ e^{\lambda} \vartheta & e^{\lambda}\end{array}\right).$$

Pour calculer les exponentielles des deux derni\`eres matrices, on commence par les diagonaliser. On obtient sans difficult\'e $$\left(\begin{array}{ll} \lambda & \vartheta \\ \vartheta & \lambda \end{array} \right) = \rP \left(\begin{array}{ll} \lambda + \vartheta & 0 \\ 0 & \lambda - \vartheta \end{array} \right) \rP^{-1} \ \ \textrm{ avec } \rP = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \ \textrm{et} \ \rP^{-1} = \frac{1}{2}\rP$$ et $$\left(\begin{array}{ll} \lambda & -\vartheta \\ \vartheta & \lambda \end{array} \right) = \Q \left(\begin{array}{ll} \lambda +i\vartheta & 0 \\ 0 & \lambda - i\vartheta \end{array} \right) \Q^{-1} \ \ \textrm{ avec } \Q = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ -i & i\end{array}\right) \ \textrm{et} \ \Q^{-1} = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} 1 & i \\ 1 & -i\end{array}\right),$$
d'o\`u $$e^{\left(\begin{array}{lll} \lambda & \vartheta \\ \vartheta & \lambda\end{array} \right)} = \rP \left(\begin{array}{ll} e^{\lambda + \vartheta} & 0 \\ 0 & e^{\lambda - \vartheta} \end{array} \right) \rP^{-1} = e^{\lambda}\left(\begin{array}{ll} \cosh(\vartheta) & \sinh(\vartheta) \\ \sinh(\vartheta) & \cosh(\vartheta)\end{array}\right)$$
et $$e^{\left(\begin{array}{lll} \lambda & -\vartheta \\ \vartheta & \lambda\end{array} \right)} = \Q \left(\begin{array}{ll} e^{\lambda + i\vartheta} & 0 \\ 0 & e^{\lambda - i\vartheta} \end{array} \right) \Q^{-1} = e^{\lambda}\left(\begin{array}{ll} \cos(\vartheta) & -\sin(\vartheta) \\ \sin(\vartheta) & \cos(\vartheta)\end{array}\right).$$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 7.*} --- 1. Les polyn\^omes $(\T - 1)^2$ et $\T - 2$ sont premiers entre eux et $(\T-1)^2 - \T(\T-2) = 1$ est une relation de B\'ezout. On en d\'eduit comme d'habitude que les endomorphismes $\pi_2 = -(u - \mathrm{id}_{\E})^2$ et $\pi_1 = u(u - 2\mathrm{id}_{\E})$ sont des projecteurs tels que $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1 = 0$ et $\mathrm{id}_{\E} = \pi_1 + \pi_2$, d'images respectives $\mathrm{Ker}(u - 2\mathrm{id}_{\E})$ et $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\E})^2$, d'o\`u la d\'ecomposition $$\E = \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id}_{\E})^2 \oplus \mathrm{Ker}(u - 2 \mathrm{id}_{\E}).$$

\vspace{0.1cm} 2. Les projecteurs spectraux $\pi_1$ et $\pi_2$ \'etant des polyn\^omes en $u$, ils commutent avec $u$.

On a $u \pi_2 = 2 \pi_2$ puisque $\mathrm{Im}(\pi_2) = \mathrm{Ker}(u-2\mathrm{id}_{\E})$ et $u \pi_1 = \pi_1 + (u - \mathrm{id}_{\E}) \pi_1$ avec $[(u - \mathrm{id}_{\E})\pi_1]^2 =  (u - \mathrm{id}_{\E})^2 \pi_1 = 0$ puisque $\mathrm{Im}(\pi_1) = \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id}_{\E})^2$. On en d\'eduit  $$e^u \pi_2 = \mathrm{e}^2 \pi_2$$ et \begin{eqnarray*} e^u \pi_1 & = & e^{\pi_1u} \\ & = & e^{\pi_1}e^{(u - \mathrm{id}_{\E})\pi_1} \\ & = & (e\pi_1)(\mathrm{id}_{\E} + (u-\mathrm{id}_{\E})\pi_1) \\ & = & eu\pi_1. \end{eqnarray*}

\vspace{0.1cm} 3. C'est d\'ej\`a fait...

\vspace{0.1cm} 4. Nous obtenons finalement \begin{eqnarray*} e^u & = & e^u(\pi_1 + \pi_2) \\ & = & e^u \pi_1 + e^u \pi_2 \\ & = & e u\pi_1 + e^2 \pi_2 \\ & = & eu^2(u-2\mathrm{\E}) - e^2(u-\mathrm{id}_{\E}) \\ & = & e u^3 - (e^2 + 2e)u^2 + 2e^2u - e^2 \mathrm{id}_{\E}.\end{eqnarray*}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 8.*} --- \emph{Les matrices sont donn\'ees sans garantie et il est fortement conseill\'e de v\'erifier tous les calculs!}

(i) On v\'erifie que $\mathrm{Sp}(u) = \{2,3,4\}$, de sorte que le polyn\^ome minimal de $u$ est $(\T - 2)(\T - 3)(\T -4)$. En d\'ecomposant la fraction rationnelle $(\T -2)^{-1}(\T - 3)^{-1}(\T - 4)^{-1}$ en \'el\'ements simples, on obtient l'identit\'e $$\frac{1}{2}(\T-3)(\T-4) - (\T-2)(\T-4) + \frac{1}{2}(\T-2)(\T-3) = 1,$$ qui est une relation de B\'ezout pour les polyn\^omes premiers entre eux $(\T-3)(\T-4), \ (\T-2)(\T-4)$ et $(\T-2)(\T-3)$. Les endomorphismes $$\pi_2 = \frac{1}{2}(u - 3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}), \ \pi_3 = -(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u - 4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}) \ \textrm{et} \ \pi_4 = \frac{1}{2}(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u-3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$$ sont les projecteurs spectraux sur les sous-espaces propres $\mathrm{Ker}(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$, $\mathrm{Ker}(u - 3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ et $\mathrm{Ker}(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ respectivement. Leurs matrices respectives dans la base canonique sont $$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{lll} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & -1 \end{array} \right), \ \left(\begin{array}{lll} -4 & 1 & -4 \\ -4 & 1 & -4 \\ 4 & -1 & 4 \end{array} \right), \ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{lll} 7 & 0 & 7 \\ 8 & 0 & 8 \\ -5 & 0 & -5 \end{array} \right).$$
Partant de l'identit\'e $\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3} = \pi_2 + \pi_3 + \pi_4$, on obtient $$u^n = 2^n \pi_2 + 3^n \pi_3 + 4^n \pi_4$$ pour tout entier naturel $n$ et la matrice de $u^n$ dans la base canonique est $$\A^n = \left( \begin{array}{lll} 3. 2^{n-1} - 4. 3^n + 14. 4^{n-1} & -2^n + 3^n & 2^{n-1}-4.3^n + 14. 4^{n-1} \\ -4.3^n + 4^{n+1} & 3^n & -4.3^n + 4^{n+1} \\ -3. 2^{n-1} + 4. 3^n - 10. 4^{n-1} & 2^n-3^n & -2^{n-1}+4.3^n - 10. 4^{n-1}\end{array}\right).$$
On a enfin $$e^{tu} = e^{2t}\pi_2 + e^{3t}\pi_3 + e^{4t}\pi_4$$ pour tout nombre r\'eel $t$ et la matrice de cet endomorphisme dans la base canonique est $$e^{t\A} = \left( \begin{array}{lll}\frac{3}{2}e^{2t} - 4e^{3t} + \frac{7}{2}e^{4t} & -e^{2t}+e^{3t} & \frac{1}{2}e^{2t} - 4e^{3t}+\frac{7}{2}e^{4t} \\ -4e^{3t} + 4e^{4t} & e^{3t} & -4e^{3t} + 4e^{4t} \\ -\frac{3}{2}e^{2t} + 4e^{3t} - \frac{5}{2}e^{4t} & e^{2t}-e^{3t} & -\frac{1}{2}e^{2t} +4e^{3t}-\frac{5}{2}e^{4t} \end{array} \right).$$

\vspace{0.1cm} (ii) On v\'erifie que $\mathrm{Sp}(u) = \{1,4\}$, la valeur propre \'etant de multiplicit\'e g\'eom\'etrique \'egale \`a $2$ ; l'endomorphisme $u$ est donc diagonalisable et son polyn\^ome minimal est $(\T -1)(\T-4)$.

En proc\'edant comme en (i), on obtient les expressions $$\pi_1 = -\frac{1}{3}(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}) \ \ \textrm{et} \ \ \pi_4 = \frac{1}{3}(u - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$$ pour les projecteurs spectraux sur les sous-espaces propres $\mathrm{Ker}(u-\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ et $\mathrm{Ker}(u-4\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ respectivement. Leurs matrices dans la base canonique s'en d\'eduit imm\'ediatement. Enfin, $$u^n = \pi_1 + 4^n \pi_4 \ \ \textrm{et} \ \ \B^n = \left(\begin{array}{lll} -2 + 4^n & 1+4^n & 1+ 4^n \\ 1+4^n & -2+4^n & 1+4^n \\ 1+4^n & 1+4^n & -2+4^n\end{array}\right)$$ pour tout entier naturel $n$ et $$e^{tu} = e^t \pi_1 + e^{4t}\pi_4,  \ \ \ e^{t\B} = \frac{1}{3}\left( \begin{array}{lll} -2e^t + e^{4t} & e^t + e^{4t} & e^t+e^{4t} \\ e^t +e^{4t} & -2e^t + e^{4t} & e^t +e^{4t} \\ e^t +e^{4t} & e^t + e^{4t} & -2e^t+e^{4t}\end{array}\right)$$ pour tout nombre r\'eel $t$.

\vspace{0.1cm} (iii) On v\'erifie que $\mathrm{Sp}(u) = \{1,2\}$, la valeur propre $2$ \'etant de multiplicit\'e alg\'ebrique $2$ mais de multiplicit\'e g\'eom\'etrique $1$ seulement. Cet endomorphisme n'est pas diagonalisable et son polyn\^ome minimal est $(\T-1)(\T-2)^2$. On obtient une relation de B\'ezout entre $T - 1$ et $(\T - 2)^2$ en faisant la division euclidienne du second par le premier : $$1 = (\T-2)^2 - (\T-1)(\T-3).$$ Les projecteurs spectraux sur les sous-espaces caract\'eristiques $\mathrm{Ker}(u - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})$ et $\mathrm{Ker}(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})^2$ sont respectivement $$\pi_1 = (u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})^2 \ \ \textrm{et} \ \ \pi_2 = -(u-\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})(u - 3\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}),$$ de matrices $$\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array} \right) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$ dans la base canonique.

Avant de calculer $u^n$ et $e^{tu}$, observons que $u\pi_2 = 2\pi_2 + (u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$ avec $[(u - 2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2]^2 = 0$, de sorte que $u^n \pi_2 = (u\pi_2)^n = 2^n \pi_2 + n2^{n-1}(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$ et $e^{tu}\pi_2 = e^{2t}\pi_2 + e^{2t}t(u - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$. La matrice de $(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2$ dans la base canonique est $$\left(\begin{array}{lll} -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ et on a par cons\'equent : $$u^n = \pi_1 + 2^n\pi_2 + (u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2, \ \ \ \C^n = \left(\begin{array}{lll} 1 - n2^n & 2^{n-1}n & (n+1)2^n -1 \\ 2(1 - 2^{n}) & 2^n & 2(2^{n}-1) \\ -n2^n & n2^{n-1} & (n+1)2^n \end{array}\right)$$ pour tout entier naturel $n$ et $$e^{tu} = e^t \pi_1 + e^{2t}\pi_2 + te^{2t}(u-2\mathrm{id}_{\mathbb{R}^3})\pi_2, \ \ \ e^{t\C} = \left( \begin{array}{lll} e^t - 2te^{2t} & te^{2t} & -e^t+(1+2t)e^{2t} \\ 2e^t - 2e^{2t} & e^{2t} & 2(e^{2t} -e^{t} \\ -2te^{2t} & te^{2t} & (1+2t)e^{2t}\end{array}\right)$$ pour tout nombre r\'eel $t$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 9.} --- Le rang de l'endomorphisme $u$ est manifestement \'egal \`a $1$, ce qui signifie que $0$ est une valeur propre de multiplicit\'e g\'eom\'etrique $\mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}(u) = n$ ; c'est en fait l'unique valeur propre de $u$ car $\mathrm{tr}(u)=0$ et $u$ n'est pas diagonalisable.

L'image de $u$ est de mani\`ere \'evidente la droite engendr\'ee par le vecteur dont toutes les coordonn\'ees sont \'egales \`a $1$, lequel appartient \`a $\mathrm{Ker}(u)$ ; nous avons donc $u^2 = 0$ et $e^{tu} = 1 + tu$ pour tout nombre r\'eel $t$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 10.} --- On d\'esigne par $\E_1, \ldots, \E_n$ les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^n$.

1 \& 2. Le sous-espace $\mathrm{Ker}(\A - (a-b)\Ir_n)$ de $\Rb^n$ est de dimension $n-1$ et engendr\'e par les vecteurs $\E_1 - \E_2, \E_2 - \E_3, \ldots, \E_{n-1} - \E_n$. La valeur propre $(a-b)$ est de multiplicit\'e g\'eom\'etrique $n-1$ et, comme $\mathrm{tr}(\A) =na$, la derni\`ere valeur propre $x$ de $\A$ est la solution de l'\'equation $(n-1)(a-b)+x = na$, soit $x = a + (n-1)b$. Le sous-espace propre $\mathrm{Ker}(\A - (a+(n-1)b)\Ir_n)$ est la droite engendr\'ee par le vecteur $\E_1 + \ldots + \E_n$. 

Les vecteurs $\E_1 - \E_2, \ldots, \E_n - \E_{n-1}$ et $\E_1 + \ldots + \E_n$ constituent clairement une base de $\Rb^n$ car les $n-1$ premiers forment une base de l'hyperplan d'\'equation $x_1 + \ldots + x_n$, lequel ne contient pas le dernier vecteur. Tous ces vecteurs \'etant des vecteurs propres de $\A$, $\A$ est diagonalisable et, si $\rP$ d\'esigne la matrice dont les colonnes sont leurs coordonn\'ees dans la base canonique (c'est la matrice ayant des $1$ sur la diagonale, des $-1$ sur la premi\`ere sous-diagonale et des $1$ sur la derni\`ere colonne, les autres coefficients \'etant nuls), $$\rP^{-1} \A \rP = \mathrm{diag}(a-b, \ldots, a-b, a+(n-1)b).$$

\vspace{0.1cm} Lorsque $b \neq 0$, les deux valeurs propres de $\A$ sont distinctes et son polyn\^ome minimal est donc $(\T - (a-b))(\T - (a - (n-1)b)) = \T^2 - (2a - nb) \T + (a-b)(a-{n-1}b)$.

Lorsque $b = 0$, $\A = a \Ir_n$ et son polyn\^ome minimal est $\T - a$.

\vspace{0.1cm} 3. La matrice $\A$ est inversible si et seulement si $0$ n'est pas l'une de ses valeurs propres, donc si et seulement si $a \neq b$ et $a \neq (n-1)b$. Le cacul de $\A^{-1}$ se fait ais\'ement en utilisant le polyn\^ome minimal de $\A$ : \begin{itemize} \item lorsque $b = 0$, $\A = a\Ir_n$ et donc $\A^{-1} = a^{-1}\Ir_n$ ; \item lorsque $b \neq 0$, $\A^2 - (2a+nb)\A + (a-b)(a-(n-1)b) = 0$ et donc $$\A^{-1} = - \frac{1}{(a-b)(a-nb)} (\A - (2a+nb)\Ir_n).$$\end{itemize}

\vspace{0.1cm} 4 \& 5.  Lorsque $b \neq 0$, la m\'ethode la plus efficace pour calculer explicitement $\A^n$ et $e^{t\A}$ est d'utiliser les projecteurs spectraux de $\A$. Partant de la relation de B\'ezout $(\T - (a - (n-1)b)) - (\T - (a - b)) = nb$, nous obtenons imm\'ediatement $$\Ir_n = \frac{1}{nb} \left((\A - (a-(n-1)b)\Ir_n) - (\A - (a-b)\Ir_n)\right)$$ et $$\A = \frac{1}{nb} \left((a-b)(\A - (a-(n-1)b) \Ir_n) - (a-(n-1)b)(\A - (a-b)\Ir_n)\right),$$ d'o\`u \begin{eqnarray*} \A^p & = & \frac{1}{nb}\left((a-b)^p (\A - (a-(n-1)b)\Ir_n) - (a-(n-1)b)^p (\A - (a-b)\Ir_n)\right) \\ & = & \frac{1}{nb} \left((a-b)^p - (a-(n-1)b)^p\right) \A + \frac{1}{nb}(a-b)(a-(n-1)b)\left((a-(n-1)b)^{p-1} - (a-b)^{p-1}\right) \Ir_n \end{eqnarray*} pour tout entier naturel $p \geq 1$ et \begin{eqnarray*} e^{t\A} & = & \frac{1}{nb}\left(e^{(a-b)t}(\A - (a-(n-1)b)\Ir_n) - e^{(a-(n-1)b)t}(\A - (a-b)\Ir_n)\right) \\ & = & \frac{1}{nb}\left(e^{(a-b)t} - e^{(a-(n-1)b)t}\right) \A + \frac{1}{nb}\left((a-b)e^{(a-(n-1)b)t} - (a-(n-1)b)e^{(a-b)t}\right) \Ir_n.\end{eqnarray*}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 11.} --- 1. Le rang de l'endomorphisme $u - (1-a) \mathrm{id}_{\E}$ est \'egal \`a $1$ et $1-a$ est donc une valeur propre de $u$ de multiplicit\'e g\'eom\'etrique \'egale \`a $3$. Comme $\mathrm{tr}(u) = 4$, la derni\`ere valeur propre de $u$ est $4 - 3(1-a) = 1+3a$.

\vspace{0.1cm} 2. Si $a = 0$, $1 - a = 1+3a = 1$ et l'endomorphisme $u$ n'est pas diagonalisable car $u \neq \mathrm{id}_{\E}$.

\vspace{0.1cm} 3. Lorsque $a \neq 0$, les multiplicit\'es g\'eom\'etriques et alg\'ebriques des valeurs propres $1-a$ et $1+3a$ de $u$ sont les m\^emes (respectivement $3$ et $1$) et l'endomorphisme $u$ est diagonalisable.

\vspace{0.1cm} 4. Le polyn\^ome caract\'eristique de $u$ est $(\T-(1-a))^3(\T-(1+3a))$ ; son polyn\^ome minimal est $(\T-(1-a))(\T-(1+3a))$.

\vspace{0.1cm} 5. L'espace vectoriel $\E$ est la somme directe des sous-espaces propres $\E_1 = \mathrm{Ker}(u-(1-a)\mathrm{id}_{\E})$ et $\E_2 = \mathrm{Ker}(u-(1+3a)\mathrm{id}_{\E})$ de $u$ car leur intersection est nulle et $\mathrm{dim} \mathrm{Ker}(u - (1-a)\mathrm{id}_{\E}) =3$, $\mathrm{dim} \mathrm{Ker}(u - (1+3a)\mathrm{id}_{\E})=1$.

\vspace{0.1cm} 6. Les projecteurs spectraux s'obtiennent \`a partir de la relation de B\'ezout $(\T - (1-a)) - (\T - (1+3a)) = 4a$ : $\pi_1 = -\frac{1}{4a}(u - (1+3a)\mathrm{id}_{\E})$ est le projecteur sur $\E_1$ parall\`element \`a $\E_2$ et $\pi_2 = \frac{1}{4a}(u-(1-a)\mathrm{id}_{\E})$ est le projecteur sur $\E_2$ parall\`element \`a $\E_1$.

\vspace{0.1cm} 7. On a $u^k = (1-a)^k\pi_1 + (1+3a)^k \pi_2$ pour tout entier naturel $k$ et $e^u = e^{1-a}\pi_1 + e^{1+3a}\pi_2$. Les matrices de $\pi_1$ et $\pi_2$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ \'etant respectivement $$-\frac{1}{4a}\left(\begin{array}{llll}-3a & a^2 & a^2 & a \\ 1 & -3a & a & 1 \\ 1 & a & -3a & 1 \\ a & a^2 & a^2 & -3a \end{array} \right) \ \ \textrm{ et } \ \ \frac{1}{4a}\left(\begin{array}{llll} a & a^2 & a^2 & a \\ 1 & a & a & 1 \\ 1 & a & a & 1 \\ a & a^2 & a^2 & a \end{array} \right),$$  le calcul des matrices de $u^k$ et $e^u$ ne pose pas de probl\`eme...

\end{document} 