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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Alg\`ebre - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{0.8cm}

\begin{center}
\textbf{Une proposition pour l'examen du lundi 7 janvier 2008}
\end{center}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice} Soit $\K$ un corps commutatif et soit $\E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $d$. Un endomorphisme $u$ de $\E$ est dit \emph{cyclique} s'il existe un vecteur $x \in \E$ tel que la famille $(x,u(x), \ldots, u^{d-1}(x))$ soit une base de $\E$.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'e un endomorphisme $u$ de $\E$, on d\'esigne par $m_u$ son polyn\^ome minimal et par $\rP_u$ son polyn\^ome caract\'eristique ; on rappelle que, par convention, le coefficient dominant de $\rP_u$ est $(-1)^d$. 

\vspace{0.2cm} \noindent 1. Soit $u$ un endomorphisme cyclique de $\E$.

\vspace{0.1cm} \indent 1.1. D\'emontrer que, si un polyn\^ome non nul $\Qr \in \K[\T]$ annule $u$, alors $\deg(\Qr) \geq d$.

\vspace{0.1cm} \indent 1.2. En d\'eduire que l'on a $m_u = (-1)^d \rP_u$.

\vspace{0.2cm} \noindent 2. Soit $n$ un endomorphisme nilpotent de $\E$ et soit $\lambda \in \K$ ; on pose $u = \lambda \mathrm{id}_{\E} + n$.

\vspace{0.1cm} 2.1. D\'emontrer que l'endomorphisme $n$ est cyclique si et seulement si $n^{d-1} \neq 0$.

\vspace{0.1cm} 2.2. Quel que soit $k \in \mathbb{N}$, exprimer $u^k$ en fonction des puissances de $n$.

\vspace{0.1cm} 2.3. En d\'eduire que l'endomorphisme $u$ est cyclique si et seulement si l'endomorphisme $n$ est cyclique.
 
\vspace{0.2cm} \noindent 3. Soit $u$ un endomorphisme de $\E$ dont le polyn\^ome caract\'eristique est scind\'e sur $\K$. Quelle que soit la valeur propre $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$ de $u$, on d\'esigne $\E(\lambda)$ le sous-espace caract\'eristique de $u$ associ\'e \`a $\lambda$ et on note $\pi_{\lambda}$ le projecteur spectral sur $\E(\lambda)$.

\vspace{0.1cm} 3.1. Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$. Si l'endomorphisme $u$ est cyclique, d\'emontrer que sa restriction au sous-espace caract\'eristique $\E(\lambda)$ est un endomorphisme cyclique de $\E(\lambda)$.

\vspace{0.1cm} 3.2. \'Etant donn\'e un sous-espace vectoriel $\F$ de $\E$ stable par $u$, d\'emontrer que $\F = \E$ si et seulement si $\pi_{\lambda}(\F) = \E(\lambda)$ pour toute valeur propre $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$.

\vspace{0.1cm} 3.3. En d\'eduire que, si la restriction de $u$ \`a chaque sous-espace caract\'eristique $\E(\lambda)$ est un endomorphisme cyclique de $\E(\lambda)$, alors $u$ est un endomorphisme cyclique. (\emph{Indication \'eventuelle : consid\'erer un vecteur de la forme $x = \sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} x_\lambda$ o\`u, pour tout $\lambda$, $x_{\lambda}$ est un vecteur cyclique de $\E(\lambda)$}.)

\vspace{0.2cm} \noindent 4. Soit $u$ un endomorphisme de $\E$ dont le polyn\^ome caract\'eristique est scind\'e sur $\K$. D\'emontrer $u$ est un endomorphisme cyclique si et seulement si $m_u = (-1à^d\rP_u$.


\end{document}