Math III-Algèbre - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Une proposition pour l’examen du lundi 7 janvier 2008

Exercice Soit K un corps commutatif et soit E un K-espace vectoriel de dimension finie d. Un endomorphisme u de E est dit cyclique s’il existe un vecteur x ∈ E tel que la famille (x,u(x),...,u^{d−1} (x)) soit une base de E ; on dira également qu’un tel vecteur x est cyclique.

Étant donné un endomorphisme u de E, on désigne par m_{u} son polynôme minimal et par P_{u} son polynôme caractéristique ; on rappelle que, par convention, le coefficient dominant de P_{u} est (−1)^{d}.

1. Soit u un endomorphisme cyclique de E.

1.1. Démontrer que, si un polynôme non nul Q ∈ K[T] annule u, alors deg(Q) ≥ d.

1.2. En déduire que l’on a m_{u} = (−1)^{d}P_{u}.

2. Soit n un endomorphisme nilpotent de E et soit λ ∈ K ; on pose u = λid_{E}+ n.

2.1. Démontrer que l’endomorphisme n est cyclique si et seulement si n^{d−1} ≠ 0.

2.2. Quel que soit k ∈ ℕ, exprimer u^{k} en fonction des puissances de n.

2.3. En déduire que l’endomorphisme u est cyclique si et seulement si l’endomorphisme n est cyclique.

3. Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K. Quelle que soit la valeur propre λ ∈ Sp(u) de u, on désigne E(λ) le sous-espace caractéristique de u associé à λ et on note π_{λ} le projecteur spectral sur E(λ).

3.1. Soit λ ∈ Sp(u). Si l’endomorphisme u est cyclique, démontrer que sa restriction au sous-espace caractéristique E(λ) est un endomorphisme cyclique de E(λ).

3.2. Étant donné un sous-espace vectoriel F de E stable par u, démontrer que F = E si et seulement si π_{λ}(F) = E(λ) pour toute valeur propre λ ∈ Sp(u).

3.3. En déduire que, si la restriction de u à chaque sous-espace caractéristique E(λ) est un endomorphisme cyclique de E(λ), alors u est un endomorphisme cyclique. (Indication éventuelle : considérer un vecteur de la forme x = ∑_{λ∈Sp(u)} x_{λ} où, pour tout λ, x_{λ} est un vecteur cyclique de E(λ).)

4. Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K. Démontrer u est un endomorphisme cyclique si et seulement si m_{u} = (−1^{d}P_{u}.