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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 10 - Mercredi 28 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $f$ une fonction r\'eelle $2\pi$-p\'eriodique sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1. Donner l'expression des coefficients $a_n$ et $b_n$ de la s\'erie de Fourier $\sum_{n \geq 0} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$ de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. \'Enoncer le th\'eor\`eme de Parseval-Bessel pour $f$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} (5 points) ---  Calculer la somme de la s\'erie enti\`ere $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}\cos(\frac{2\pi n}{3}) z^n.$$ \noindent (\emph{Indication : utiliser le fait que $\cos(\vartheta)$ est la partie r\'eelle du nombre complexe $e^{i\vartheta}$.})


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (5 points) --- D\'evelopper la fonction $f(z) = \frac{1}{(z-2)^2}$ en s\'erie enti\`ere sur le disque ouvert \\ $\{z \in \mathbb{C} \ | \ |z| < 2\}.$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (5 points) --- Soit $f$ la fonction r\'eelle d\'efinie sur $]-1,1[$ par $$f(x) = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}.$$

\vspace{0.1cm} \indent 1. D\'emontrer que $f$ est solution d'une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre $2$.

\vspace{0.1cm} \indent 2. En d\'eduire le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $f$.

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 10 - Mercredi 28 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Expliquer, en donnant les justifications n\'ecessaires, quelle est l'interpr\'etation g\'eom\'etrique des s\'eries de Fourier.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} (5 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $$\sum_{n \geq 2} \frac{n}{n^2 - 1} z^n$$ puis calculer sa somme.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (4 points) --- Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vrai ou fausse puis donner une d\'emonstration ou un contre-exemple.

\indent (i) Les s\'eries enti\`eres $\sum_n a_n z^n$ et $\sum_n (-1)^n a_n z^n$ ont le m\^eme disque de convergence.

\indent (ii) Une s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$ est uniform\'ement convergente sur $\mathbb{C}$ si et seulement si c'est un polyn\^ome.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (6 points) --- 1. D\'emontrer l'identit\'e $$\int_0^1 t^n (\log t)^n \mathrm{d}t = (-1)^{n} \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}$$ pour tout entier naturel $n$.

\vspace{0.1cm} 2. En d\'eduire $$\int_0^1 t^{-t} \mathrm{d}t = \sum_{n \geq 1} n^{-n}.$$ \noindent (\emph{Utiliser la s\'erie enti\`ere de la fonction exponentielle puis le th\'eor\`eme d'int\'egration des s\'eries de fonctions uniform\'ement convergentes...})


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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 10 - Mercredi 28 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{inx}$ (la somme d') une s\'erie trigonom\'etrique \`a coefficients complexes, que l'on suppose uniform\'ement convergente sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} Quels sont les coefficients de Fourier de la fonction $f$? Le d\'emontrer.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} (5 points) --- On consid\`ere la s\'erie enti\`ere $$\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n(n+1)}.$$ 

\vspace{0.1cm} 1. D\'eterminer son rayon de convergence ainsi que l'ensemble des points $z$ de $\mathbb{C}$ en lesquels la s\'erie est simplement convergente.

\vspace{0.1cm} 2. Calculer la somme de cette s\'erie enti\`ere.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (5 points) --- D\'evelopper la fonction complexe $f(z) = \frac{z}{1 - z -z^2}$ en s\'erie enti\`ere au voisinage de $0$ ; on utilisera pour cela l'identit\'e $z = (1-z-z^2)f(z)$. Quel est le rayon de convergence de la s\'erie obtenue?

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (5 points) --- Soit $(a_n)$ la suite d\'efinie par r\'ecurrence par $a_0=a_1=a_2=1$ et $$a_{n+1} = a_n - \frac{a_{n-2}}{2(n+1)}$$
pour tout $n \geq 2$.

\vspace{0.1cm} \indent 1. \'Etablir la majoration $|a_n| \leq 2^n$ pour tout entier naturel $n$. Que peut-on en d\'eduire quant au rayon de convergence $\R$ de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n x^n$?

\vspace{0.1cm} \indent 2. Soit $f : ]-\R,\R[ \rightarrow \mathbb{R}$ la somme de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n x^n$. D\'emontrer que cette fonction est solution d'une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire du premier ordre ; en d\'eduire une expression simple de $f$ ainsi que la valeur de $\R$. 
\end{document}