Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 11 - Mercredi 5 décembre 2007

Question de cours — Soit f une fonction de ℝ dans ℂ, 2π-périodique et intégrable.

1. Rappeler l’expression des coefficients de Fourier réels (a_{n} et b_{n}) et complexes (c_{n}) de f.

2. Rappeler l’inégalité de Bessel. Que peut-on en déduire pour les séries ∑_{n≥0} a_{n}^{2} et ∑_{n≥0} b_{n}^{2}?

3. Rappeler l’égaltié de Parseval.

Premier exercice — Soit f la fonction réelle 2π-périodique dont la restriction à l’intervalle ] − π,π] est définie par f(x) = x.

1. Calculer les coefficients de Fourier de f.

2. Déterminer la somme des séries ∑_{n≥0} \frac{(−1)^{n}}{2n+1} et ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}}.

Deuxième exercice — Soit g une fonction 2π-périodique de classe C^{1}. Démontrer que l’équation différentielle f′′+ f′− f = g admet une unique solution 2π-périodique puis exprimer cette dernière sous la forme d’une série trigonométrique.

Troisième exercice — Soit f une fonction 2π-périodique de classe C^{1} sur ℝ. On note c_{n} le coefficient de Fourier complexe de f d’indice n ∈ ℤ.

1. Exprimer les coefficients de Fourier de f′en fonction de ceux de f. En déduire que la série ∑_{n∈ℤ} n^{2}|c_{n}|^{2} est convergente.

2. Démontrer l’inégalité

0 ≤ ( ∑_{1≤|n|≤N} n^{2}|c_{n}|^{2}) t^{2}+ 2( ∑_{1≤|n|≤N} |c_{n}|) t + ( ∑_{1≤|n|≤N} \frac{1}{n^{2}})

pour tout entier N ≥ 1 et tout nombre réel t.

3. Déduire de ce qui précède que la série ∑_{n∈ℤ} |c_{n}| converge et que l’on a

∑_{n∈ℕ}|c_{n}| ≤ |c_{0}| + π \frac{\sqrt{3}}{3}||f′||,

où ||f′|| = ( \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f′(t)^{2}dt)^{\frac{1}{2}}.

Khôlle 11 - Mercredi 5 décembre 2007

Question de cours — Soit F l’espace vectoriel complexe des fonctions f : ℝ → ℂ 2π-périodiques et intégrables.

Expliquer, en fournissant les justifications nécessaires, quelle est l’interprétation géométrique des séries de Fourier que l’on peut donner en utilisant l’espace vectoriel F.

Premier exercice — Soit f la fonction réelle 2π-périodique dont la restriction à l’intervalle ] − π,π] est définie par f(x) = x^{2}.

1. Calculer les coefficients de Fourier de f.

2. Déterminer la somme des séries ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}} et ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{4}}.

Deuxième exercice — Soit f une fonction réelle et 2π-périodique de classe C^{1} sur ℝ telle que ∫_{−π}^{π} f(x)dx = 0.

Démontrer que l’on a

∫_{−π}^{π} f(x)^{2}dx ≤ ∫_{−π}^{π} f′(x)^{2}dx

et étudier le cas d’égalité.

Troisième exercice — Soit f : ℝ → ℂ une fonction 2π-périodique et intégrable. On note c_{n} le coefficient de Fourier complexe de f d’indice n ∈ ℤ.

1. Démontrer l’identité

c_{n} = −\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f ( x + \frac{π}{n}) e^{−inx}dx

puis en déduire la majoration

|c_{n}| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f ( x + \frac{π}{n}) − f(x)| dx

pour tout entier n ∈ ℤ − {0}.

2. Supposons que la fonction f soit continue. Déduire de ce qui précède que |c_{n}| tend vers 0 lorsque |n| tend vers +∞. Aurait-on pu déduire cette propriété des coefficients de Fourier de l’un des résultats du cours ?

3. Supposons que la fonction f soit continuement dérivable. Démontrer que l’on a

c_{n} = o( \frac{1}{|n|})

lorsque |n| tend vers +∞.

Khôlle 11 - Mercredi 5 décembre 2007

Question de cours — Soit f : ℝ → ℂ une fonction 2π-périodique et intégrable.

1. Définir les coefficients de Fourier réels et complexes de la fonction f. Comment lit-on sur ces derniers que la fonction f est paire ou impaire ?

2. Sous quelles hypothèses peut-on affirmer que f est la somme de sa série de Fourier ?

Premier exercice — Soit f la fonction réelle paire et 2π-périodique dont la restriction à l’intervalle [0,π] est définie par f(x) = x.

1. Calculer les coefficients de Fourier de f.

2. Déterminer la somme des séries ∑_{n≥0} \frac{1}{(2n+1)^{2}} et ∑_{n≥0} \frac{1}{(2n+1)^{4}} .

Deuxième exercice — Soit (c_{n})_{n∈ℤ} une famille de nombres complexes tels que la série ∑_{n∈ℤ} |c_{n}| soit convergente. Démontrer qu’il existe une fonction continue et 2π-périodique f : ℝ → ℂ dont c_{n} soit le coefficient de Fourier (complexe) d’indice n pour tout n ∈ ℤ.

Troisième exercice — Soit (λ_{n}) une suite décroissante de nombre réels convergeant vers 0.

1. Étant donnés des entiers naturels p et q tels que p ≤ q, établir l’inégalité

| ∑_{n=p}^{q} e^{inx}| ≤ \frac{2}{|sin(\frac{x}{2})|}

pour tout x ∈ ℝ − 2πℤ.

2. Démontrer que la série de fonctions ∑_{n≥1} λ_{n}sin(nx) converge simplement sur ℝ vers une fonction f et que la convergence est uniforme sur tout segment contenu dans ℝ − 2πℤ.

3. Soit m un entier naturel. Vérifier que la fonction b définie sur ]0,2π[ par b(x) = \frac{sin(mx)}{sin( \frac{x}{2})} se prolonge par continuité au segment [0,2π]. En déduire que la série de fonctions ∑_{n≥1} λ_{n}sin(nx)sin(mx) est uniformément convergente sur ℝ.

4. Démontrer que la série ∑_{n≥1} λ_{n}sin(nx) est la série de Fourier de la fonction f.