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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 11 - Mercredi 5 d\'ecembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} --- Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, $2\pi$-p\'eriodique et int\'egrable.

\vspace{0.1cm} 1. Rappeler l'expression des coefficients de Fourier r\'eels ($a_n$ et $b_n$) et complexes ($c_n$) de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. Rappeler l'in\'egalit\'e de Bessel. Que peut-on en d\'eduire pour les s\'eries $\sum_{n \geq 0} a_n^2$ et $\sum_{n \geq 0} b_n^2$?

\vspace{0.1cm} 3. Rappeler l'\'egalti\'e de Parseval. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} --- Soit $f$ la fonction r\'eelle $2\pi$-p\'eriodique dont la restriction \`a l'intervalle $]-\pi,\pi]$ est d\'efinie par $f(x)=x$.

\vspace{0.1cm} 1. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. D\'eterminer la somme des s\'eries $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ et $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} --- Soit $g$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique de classe $\mathrm{C}^1$. D\'emontrer que l'\'equation diff\'erentielle $f''+f'-f = g$ admet une unique solution $2\pi$-p\'eriodique puis exprimer cette derni\`ere sous la forme d'une s\'erie trigonom\'etrique.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} --- Soit $f$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique de classe $\mathrm{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. On note $c_n$ le coefficient de Fourier complexe de $f$ d'indice $n \in \mathbb{Z}$.

\vspace{0.1cm} 1. Exprimer les coefficients de Fourier de $f'$ en fonction de ceux de $f$. En d\'eduire que la s\'erie $\sum_{n \in \mathbb{Z}} n^2 |c_n|^2$ est convergente.

\vspace{0.1cm} 2. D\'emontrer l'in\'egalit\'e $$0 \leq \left(\sum_{1 \leq |n| \leq \N} n^2|c_n|^2 \right)t^2 + 2 \left(\sum_{1 \leq |n| \leq \N} |c_n|\right) t + \left(\sum_{1 \leq |n| \leq \N} \frac{1}{n^2}\right)$$ pour tout entier $\N \geq 1$ et tout nombre r\'eel $t$.

\vspace{0.1cm} 3. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que la s\'erie $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|$ converge et que l'on a $$\sum_{n \in \mathbb{N}} |c_n| \leq |c_0| + \pi \frac{\sqrt{3}}{3} ||f'||,$$ o\`u $||f'|| = \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(t)^2 \mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{2}}$. 

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 11 - Mercredi 5 d\'ecembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} --- Soit $\mathcal{F}$ l'espace vectoriel complexe des fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ $2\pi$-p\'eriodiques et int\'egrables. 

\vspace{0.1cm} Expliquer, en fournissant les justifications n\'ecessaires, quelle est l'interpr\'etation g\'eom\'etrique des s\'eries de Fourier que l'on peut donner en utilisant l'espace vectoriel $\mathcal{F}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} --- Soit $f$ la fonction r\'eelle $2\pi$-p\'eriodique dont la restriction \`a l'intervalle $]-\pi,\pi]$ est d\'efinie par $f(x)=x^2$.

\vspace{0.1cm} 1. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. D\'eterminer la somme des s\'eries $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2}$ et $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^4}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} --- Soit $f$ une fonction r\'eelle et $2\pi$-p\'eriodique de classe $\mathrm{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x = 0$.

\vspace{0.1cm} D\'emontrer que l'on a $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 \mathrm{d}x \leq \int_{-\pi}^{\pi} f'(x)^2 \mathrm{d}x$$ et \'etudier le cas d'\'egalit\'e.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} --- Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique et int\'egrable. On note $c_n$ le coefficient de Fourier complexe de $f$ d'indice $n \in \mathbb{Z}$.

\vspace{0.1cm} 1. D\'emontrer l'identit\'e $$c_n = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\left(x+\frac{\pi}{n}\right)e^{-inx}\mathrm{d}x$$ puis en d\'eduire la majoration $$|c_n| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left|f\left(x+\frac{\pi}{n}\right) - f(x)\right| \mathrm{d}x$$ pour tout entier $n \in \mathbb{Z} - \{0\}$.

\vspace{0.1cm} 2. Supposons que la fonction $f$ soit continue. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $|c_n|$ tend vers $0$ lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$. Aurait-on pu d\'eduire cette propri\'et\'e des coefficients de Fourier de l'un des r\'esultats du cours?

\vspace{0.1cm} 3. Supposons que la fonction $f$ soit continuement d\'erivable. D\'emontrer que l'on a $$c_n = o\left(\frac{1}{|n|}\right)$$ lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.   

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 11 - Mercredi 5 d\'ecembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} --- Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique et int\'egrable.

\vspace{0.1cm} 1. D\'efinir les coefficients de Fourier r\'eels et complexes de la fonction $f$. Comment lit-on sur ces derniers que la fonction $f$ est paire ou impaire? 

\vspace{0.1cm} 2. Sous quelles hypoth\`eses peut-on affirmer que $f$ est la somme de sa s\'erie de Fourier?

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} --- Soit $f$ la fonction r\'eelle paire et $2\pi$-p\'eriodique dont la restriction \`a l'intervalle $[0,\pi]$ est d\'efinie par $f(x)=x$.

\vspace{0.1cm} 1. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. D\'eterminer la somme des s\'eries $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{(2n+1)^2}$ et $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{(2n+1)^4}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} --- Soit $(c_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ une famille de nombres complexes tels que la s\'erie $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|$ soit convergente. D\'emontrer qu'il existe une fonction continue et $2\pi$-p\'eriodique $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ dont $c_n$ soit le coefficient de Fourier (complexe) d'indice $n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} --- Soit $(\lambda_n)$ une suite d\'ecroissante de nombre r\'eels convergeant vers $0$.

\vspace{0.1cm} 1. \'Etant donn\'es des entiers naturels $p$ et $q$ tels que $p \leq q$, \'etablir l'in\'egalit\'e $$\left|\sum_{n=p}^{q} e^{inx}\right| \leq \frac{2}{|\sin(\frac{x}{2})|}$$ pour tout $x \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}$.
 
\vspace{0.1cm} 2. D\'emontrer que la s\'erie de fonctions $\sum_{n \geq 1} \lambda_n \sin(nx)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $f$ et que la convergence est uniforme sur tout segment contenu dans $\mathbb{R} - 2\pi \mathbb{Z}$.

\vspace{0.1cm} 3. Soit $m$ un entier naturel. V\'erifier que la fonction $b$ d\'efinie sur $]0,2\pi[$ par $b(x) = \frac{\sin(mx)}{\sin(\frac{x}{2})}$ se prolonge par continuit\'e au segment $[0,2\pi]$. En d\'eduire que la s\'erie de fonctions $\sum_{n \geq 1} \lambda_n \sin(nx)\sin(mx)$ est uniform\'ement convergente sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 4. D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n \geq 1} \lambda_n \sin(nx)$ est la s\'erie de Fourier de la fonction $f$.
 



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