Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 12 - Mercredi 12 décembre 2007

Question de cours — Soit f une fonction de ℝ dans ℂ, 2π-périodique et intégrable.

1. Donner l’expression des coefficients de Fourier réels (a_{n} et b_{n}) et complexes (c_{n}) de f. Comment lit-on sur ceux-ci que la fonction f est paire ou impaire ?

2. Sous quelles hypothèses peut-on affirmer que f est la somme de sa série de Fourier ?

Premier exercice — Soit f la fonction réelle 2π-périodique dont la restriction à l’intervalle [0,2π] est définie par f(x) = \frac{π−x}{2} .

1. Calculer les coefficients de Fourier de f.

2. En déduire la somme des séries ∑_{n≥0} \frac{(−1)^{n}}{2n+1} et ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}}.

Deuxième exercice — Soit f une fonction 2π-périodique de classe C^{1}. On note respectivement c_{n} et c′_{n} les coefficients de Fourier d’indice n ∈ ℤ de f et de f′

1. Exprimer c′_{n} en fonction de c_{n} et en déduire que la série ∑_{n∈ℤ} n^{2}|c_{n}|^{2} converge.

2. Soit N ≥ 1 un entier naturel. Établir l’inégalité

( ∑_{1≤|n|≤N} |c_{n}|) ^{2} ≤ ( ∑_{1≤|n|≤N} n^{2}|c_{n}|^{2}) ( ∑_{1≤|n|≤N} \frac{1}{n^{2}}) .

3. Déduire de ce qui précède que la série ∑_{n∈ℤ} |c_{n}| converge et démontrer la majoration

∑_{n∈ℤ}|c_{n}| ≤ |c_{0}| + \frac{π}{\sqrt{3}}||f′||,

où ||f′|| = ( \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f′(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} .

Troisième exercice — Étant donné un entier naturel n, on désigne par S_{n} la somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de la fonction f considérée à l’exercice précédent.

1. Que peut-on dire de la convergence simple (resp. uniforme) de la suite de fonctions (S_{n}) vers f ?

2. Soit n ≥ 1. Vérifier que, pour tout x ∈ ℝ − 2πℤ, la dérivée de la fonction S_{n} au point x est

S′_{n}(x) = cos( \frac{(n+1)x}{2} ) sin( \frac{nx}{2}) ; sin( \frac{x}{2}).

En déduire l’abscisse x_{n} du premier maximum de la fonction S_{n} sur [0,+∞[.

3. Écrire S_{n}(x_{n}) comme une somme de Riemann pour une fonction continue convenable sur [0,π]. En déduire que la suite (S_{n}(x_{n})) converge et déterminer sa limite.

Khôlle 12 - Mercredi 12 décembre 2007

Question de cours — Soit F l’espace vectoriel complexe des fonctions f : ℝ → ℂ, 2π-périodiques et intégrables.

1. Rappeler comment on définit un produit scalaire sur F.

2. Quel que soit l’entier relatif n ∈ ℤ, on désigne par e_{n} la fonction sur ℝ définie par e_{n}(x) = e^{inx}. Montrer que la famille (e_{n})_{n∈ℤ} d’éléments de F est orthonormée.

3. Soit f ∈ F. Exprimer les coefficients de Fourier complexes de f à l’aide du produit scalaire puis démontrer que, pour tout N ∈ ℕ, la somme partielle S_{N} de la série de Fourier de f est le projeté orthogonal de f sur le sous-espace vectoriel V_{N} = Vect(e_{−N} ,...,e_{N}) de F. Comment peut-on en déduire l’inégalité de Bessel ?

Premier exercice — Soit f la fonction réelle 2π-périodique dont la restriction à l’intervalle ] − π,π] est définie par f(x) = sin( \frac{x}{2}).

1. Calculer les coefficients de Fourier de f.

2. Déterminer la somme des séries ∑_{n≥0} \frac{(−1)^{n}(2n+1)}{16n^{2}+16n+3} et ∑_{n≥1} \frac{n^{2}}{(4n^{2}−1)^{2}} .

Deuxième exercice — Soit f une fonction continue 2π-périodique sur ℝ. Quel que soit n ∈ ℤ, on désigne par c_{n} le coefficient de Fourier de f d’indice n.

Démontrer que f est π-périodique si et seulement si c_{n} = 0 pour tout entier n impair.

Troisième exercice — Soit a ∈] − 1,1[ et soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = \frac{1−acos(x)}{1−2acos(x)+a^{2}} .

1. Démontrer que, pour tout x ∈ ℝ,

∑_{n=0}^{∞} a^{n}cos(nx) = g(x)

puis en déduire le développement en série de Fourier de g.

2. Soit f une fonction intégrable et 2π-périodique sur ℝ. On définit la fonction h sur ℝ par

h(x) = ∫_{0}^{2π} g(x − t)f(t)dt.

Démontrer que h est la somme d’une série trigonométrique normalement convergente ; en déduire qu’il s’agit d’une fonction continue et déterminer ses coefficients de Fourier.

3. Soit λ ∈ ℝ. Déterminer l’ensemble des fonctions f : ℝ → ℂ intégrables et 2π-périodiques telles que

f(x) = λ ∫_{0}^{2π} g(x − t)f(t)dt + ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{2}}

pour tout x ∈ ℝ.

Khôlle 12 - Mercredi 12 décembre 2007

Question de cours — Soit f : ℝ → ℂ une fonction 2π-périodique et intégrable.

1. Donner l’expression des coefficients de Fourier réels (a_{n} et b_{n}) et complexes (c_{n}) de f.

2. Rappeler l’égalité de Parseval. En déduire que, si elle est continue et si tous ses coefficients de Fourier sont nuls, alors la fonction f est identiquement nulle.

3. Que peut-on dire de deux fonctions continues et 2π-périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier ?

Premier exercice — Soit f la fonction réelle 2π-périodique dont la restriction à l’intervalle [0,2π[ est définie par f(x) = x^{2}.

1. Calculer les coefficients de Fourier de f.

2. En déduire la somme des séries ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}} et ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{4}}.

Deuxième exercice — Soit k ∈ ℝ. Résoudre l’équation différentielle suivante :

\frac{d^{2}}{dx}f + k^{2} \frac{d}{dx}f = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{2}}.

Troisième exercice — Soit f : [0,π] → ℝ une fonction de classe C^{2} telle que f(0) = f(π) = 0. 1. Montrer que l’on peut prolonger f en une fonction impaire, continue et 2π-périodique sur ℝ.

2. Soient a_{n},b_{n} les coefficients de Fourier de f et soient a′′_{n},b′′_{n}ceux de f′′. Exprimer b′′_{n}en fonction de b_{n} et déterminer a_{n} et a′′_{n}.

3. Établir la majoration

sup_{x∈[0,π]}|f(x)| ≤ ∑_{n∈ℤ−\{0\}} \frac{|b′′_{n}|}{n^{2}}

puis en déduire la majoration

sup_{x∈[0,π]}|f(x)| ≤ \frac{π^{2}}{3\sqrt{5}}||f′′||,

où ||f′′|| = ( \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f′′(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} .