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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle xxx - Vendredi 21 d\'ecembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} --- Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, $2\pi$-p\'eriodique et int\'egrable.

\vspace{0.1cm} 1. Donner l'expression des coefficients de Fourier r\'eels ($a_n$ et $b_n$) et complexes ($c_n$) de $f$. Comment lit-on sur ceux-ci que la fonction $f$ est paire ou impaire?

\vspace{0.1cm} 2. Sous quelles hypoth\`eses peut-on affirmer que $f$ est la somme de sa s\'erie de Fourier?


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} --- Soit $f$ la fonction r\'eelle $2\pi$-p\'eriodique dont la restriction \`a l'intervalle $[0,2\pi]$ est d\'efinie par $f(x)=\frac{\pi - x}{2}$.

\vspace{0.1cm} 1. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. En d\'eduire la somme des s\'eries $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ et $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} --- Soit $f$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique de classe $\mathrm{C}^1$. On note respectivement $c_n$ et $c'_n$ les coefficients de Fourier d'indice $n \in \mathbb{Z}$ de $f$ et de $f'$

\vspace{0.1cm} 1. Exprimer $c'_n$ en fonction de $c_n$ et en d\'eduire que la s\'erie $\sum_{n \in \mathbb{Z}} n^2|c_n|^2$ converge.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\N \geq 1$ un entier naturel. \'Etablir l'in\'egalit\'e $$\left(\sum_{1 \leq |n| \leq \N} |c_n|\right)^2 \leq \left(\sum_{1 \leq |n| \leq \N} n^2|c_n|^2\right)\left(\sum_{1 \leq |n| \leq \N} \frac{1}{n^2}\right).$$

\vspace{0.1cm} 3. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que la s\'erie $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|$ converge et d\'emontrer la majoration $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n| \leq |c_0| + \frac{\pi}{\sqrt{3}}||f'||,$$ o\`u $||f'|| = \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2 \mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{2}}.$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} --- \'Etant donn\'e un entier naturel $n$, on d\'esigne par $\Sr_n$ la somme partielle d'ordre $n$ de la s\'erie de Fourier de la fonction $f$ consid\'er\'ee \`a l'exercice pr\'ec\'edent.

\vspace{0.1cm} 1. Que peut-on dire de la convergence simple (resp. uniforme) de la suite de fonctions $(\Sr_n)$ vers $f$?

\vspace{0.1cm} 2. Soit $n \geq 1$. V\'erifier que, pour tout $x \in \mathbb{R} - 2\pi\mathbb{Z}$, la d\'eriv\'ee de la fonction $\Sr_n$ au point $x$ est $$\Sr'_n(x) = \frac{\cos\left(\frac{(n+1)x}{2} \right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}.$$
En d\'eduire l'abscisse $x_n$ du premier maximum de la fonction $\Sr_n$ sur $[0,+\infty[$.

\vspace{0.1cm} 3. \'Ecrire $\Sr_n(x_n)$ comme une somme de Riemann pour une fonction continue convenable sur $[0,\pi]$. En d\'eduire que la suite ($\Sr_n(x_n))$ converge et d\'eterminer sa limite.  

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle xxx - Vendredi 21 d\'ecembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Question de cours} --- Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-p\'eriodique et int\'egrable.

\vspace{0.1cm} 1. Donner l'expression des coefficients de Fourier r\'eels ($a_n$ et $b_n)$ et complexes ($c_n$) de $f$. 

\vspace{0.1cm} 2. Rappeler l'\'egalit\'e de Parseval. En d\'eduire que, si elle est continue et si tous ses coefficients de Fourier sont nuls, alors la fonction $f$ est identiquement nulle.

\vspace{0.1cm} 3. Que peut-on dire de deux fonctions continues et $2\pi$-p\'eriodiques ayant les m\^emes coefficients de Fourier? 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} --- Soit $f$ la fonction r\'eelle $2\pi$-p\'eriodique dont la restriction \`a l'intervalle $[0,2\pi[$ est d\'efinie par $f(x)=x^2$.

\vspace{0.1cm} 1. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

\vspace{0.1cm} 2. En d\'eduire la somme des s\'eries $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2}$ et $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^4}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} --- Soit $k \in \mathbb{R}$. R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle suivante : $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x} f + k^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2}.$$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} --- Soit $f : [0,\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathrm{C}^2$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$.

\vspace{0.1cm} 1. Montrer que l'on peut prolonger $f$ en une fonction impaire, continue et $2\pi$-p\'eriodique sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 2. Soient $a_n, b_n$ les coefficients de Fourier de $f$ et soient $a_n'', b_n''$ ceux de $f''$. Exprimer $b_n''$ en fonction de $b_n$ et d\'eterminer $a_n$ et $a_n''$.

\vspace{0.1cm} 3. \'Etablir la majoration $$\sup_{x \in [0,\pi]} |f(x)| \leq \sum_{n \in \mathbb{Z} - \{0\}} \frac{|b_n''|}{n^2}$$ puis en d\'eduire la majoration $$\sup_{x \in [0,\pi]} |f(x)| \leq \frac{\pi^2}{3\sqrt{5}} ||f''||,$$
o\`u $||f''|| = \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f''(t)|^2 \mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{2}}.$


\end{document}