Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 2 - Jeudi 3 octobre 2007

Question de cours (5 points) — 1) Démontrer qu’une suite croissante de nombres réels est convergente si et seulement si elle est bornée.

2) Énoncer et démontrer la règle de Cauchy pour la convergence des séries réelles à termes positifs.

Premier exercice (8 points) —

Soient (u_{n})_{n∈ℕ} et (v_{n})_{n∈ℕ} deux suites réelles strictement positives telles que

\frac{u_{n+2}}{u_{n}} ≤ \frac{v_{n+2}}{v_{n}}

pour tout entier naturel n. Démontrer que, si la série ∑_{n≥0} v_{n} converge, il en est de même de la série ∑_{n≥0} u_{n}.

Second exercice (7 points) — 1) Démontrer que la série de terme général \frac{1}{4n^{3}−n} est convergente.

2) Décomposer la fraction rationnelle \frac{1}{4T^{3}−T} en éléments simples.

3) Calculer la somme de la série ∑_{n≥1} \frac{1}{4n^{3}−n}. Indication : exprimer la somme de cette série en fonction de celle de la série harmonique alternée

∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n} = −log2.

Khôlle 2 - Jeudi 3 octobre 2007

Question de cours (5 points) —

Énoncer et démontrer la règle de comparaison séries-intégrales.

Premier exercice (7 points) —

Soit P un polynôme à coefficients réels ; on le suppose non nul.

1) Justifier qu’il existe un entier naturel n_{0} tel que P(n) soit inversible pour tout entier n ≥ n_{0}.

2) Étudier de la convergence de la série de terme général \frac{1}{P(n)} en fonction du degré de P.

Second exercice (8 points) — Soit s un nombre complexe tel que ℜ(s) > 1.

1) Démontrer que la série complexe ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{s}} est absolument convergente.

2) On note P = {2,3,5,7,...} l’ensemble des nombres premiers et on admettra que tout nombre entier n ≥ 1 s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme d’un produit de nombres premiers.

(i) Soit N ≥ 2 un nombre entier naturel et soient p_{1} < p_{2} < ... < p_{r} les nombres premiers inférieurs à N. Établir la minoration

∏_{i=1}^{r} \frac{1}{1 − p_{i}^{−1}} ≥ ∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n}

et en déduire que l’ensemble P est infini.

(On pourra penser à utiliser l’identité ∑_{k≥0} p^{−k} = \frac{1}{1−p^{−1}} .)

(ii) Quel que soit l’entier naturel i, on désigne maintenant par p_{i} le i-ème nombre premier (donc p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3} = 5, etc.) et on suppose s réel.

Démontrer l’encadrement

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{s}} ≤ ∏_{i=1}^{N} \frac{1}{1 − p_{i}^{−s}} ≤ ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}.

(iii) Déduire de ce qui précède que la suite ( ∏ _{n=1}^{N} \frac{1}{1−p_{n}^{−s}} )_{N≥1} converge vers ∑ _{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}.

La fonction

ζ : \{s ∈ ℂ | ℜ(s) ≥ 1\} → ℂ, s ↦ ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

est la fonction zêta de Riemann, du nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866) qui l’a introduite et a démontré le rôle fondamental qu’elle joue en arithmétique.

Khôlle 2 - Jeudi 3 octobre 2007

Question de cours (5 points) — 1) Préciser le comportement des séries de Riemann ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{α}} , α ∈ ℝ_{>0} .

2) Démontrer que la série harmonique ∑_{n≥1} \frac{1}{n} diverge.

Premier exercice (7 points) —

1) Démontrer que la série de terme général \frac{(−1)^{n}}{n} est convergente. On rappelle le développement asymptotique

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = log(N) + γ + o(1),

où γ ∈ ℝ est la constante d’Euler.

2) L’objet de cette question est de calculer la somme de la série harmonique alternée ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n} .

(i) En utilisant l’indication précédente, donner un développement asymptotique de

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{2n} et ∑_{n=0}^{N} \frac{1}{2n + 1} .

(ii) Déduire de ce qui précède la somme de la série harmonique alternée.

Second exercice (8 points) — On rappelle qu’une série réelle ∑_{n≥0} u_{n} est dite semi-convergente si elle convergente mais non absolument convergente.

1) Donner un exemple de série réelle semi-convergente.

2) Soit ∑_{n≥0} u_{n} une série réelle semi-convergente. On suppose u_{n} ≠ 0 pour tout n.

(i) Justifier qu’il existe une infinité d’entiers n tels que u_{n} soit positif et une infinité d’entiers n tels que u_{n} soit négatif. (ii) Soit ∑_{n≥0} u_{n}^{+} la série des termes positifs de ∑_{n≥0} u_{n} et ∑_{n≥0} u_{n}^{−} celle de ses termes négatifs. Démontrer que l’une au moins de ces deux séries est divergente. (iii) Supposons que la série ∑_{n≥0} u_{n}^{+} soit divergente. Démontrer qu’il existe une bijection σ : ℕ → ℕ telle que la série

∑_{n≥0} u_{σ(n)} soit divergente.

Indication : sommer d’abord les premiers termes positifs jusqu’à obtenir 1 puis retrancher le premier terme négatif ; sommer de nouveau les termes positifs restant jusqu’à obtenir 2, retrancher le deuxième terme négatif, etc. et justifier que ce procédé définit une série dont les sommes partielles tendent vers +∞.

3) Esquisser brièvement un raisonnement analogue lorsque la série des termes négatifs est divergente et énoncer le théorème ainsi démontré.