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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{2cm}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 2 - Jeudi 3 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

\vspace{0.2cm}
1) D\'emontrer qu'une suite croissante de nombres r\'eels est convergente
si et seulement si elle est born\'ee.

\vspace{0.2cm}

2) \'Enoncer et d\'emontrer la r\`egle de Cauchy pour la convergence des s\'eries
r\'eelles \`a termes positifs.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (8 points) ---

\vspace{0.1cm}
Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites r\'eelles
strictement positives telles que $$\frac{u_{n+2}}{u_n} \leq \frac{v_{n+2}}{v_n}$$ pour
tout entier naturel $n$.
D\'emontrer que, si la s\'erie $\sum_{n \geq 0} v_n$ converge, il en est de m\^eme
de la s\'erie $\sum_{n \geq 0} u_n$.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (7 points) ---
\vspace{0.2cm}

1) D\'emontrer que la s\'erie de terme g\'en\'eral $\frac{1}{4n^3 - n}$ est convergente.

\vspace{0.2cm}

2) D\'ecomposer la fraction rationnelle $\frac{1}{4\T^3 - \T}$ en \'el\'ements simples.

\vspace{0.2cm} 

3) Calculer la somme de la s\'erie $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{4n^3 - n}$. 

\vspace{0.3cm} \emph{Indication : exprimer la somme de cette s\'erie en fonction de celle de la s\'erie harmonique altern\'ee 
$$\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n} = -\operatorname{log} 2.$$ }

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 2 - Jeudi 3 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

\vspace{0.2cm}

\'Enoncer et d\'emontrer la r\`egle de comparaison s\'eries-int\'egrales.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (7 points) ---

\vspace{0.2cm}

Soit $\rP$ un polyn\^ome \`a coefficients r\'eels ; on le suppose non nul.

\vspace{0.2cm}
1) Justifier qu'il existe un entier naturel $n_0$ tel que $\rP(n)$ soit inversible pour tout entier $n \geq n_0$.

\vspace{0.2cm}
2) \'Etudier de la convergence de la s\'erie de terme g\'en\'eral $\frac{1}{\rP(n)}$ en fonction du degr\'e de $\rP$.


\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (8 points) ---  Soit $s$ un nombre complexe tel que $\mathfrak{R}(s) > 1$.

\vspace{0.1cm}
1) D\'emontrer que la s\'erie complexe $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^s}$ est absolument convergente.

\vspace{0.1cm}

2) On note $\mathcal{P} = \{2, 3, 5, 7, \ldots\}$ l'ensemble des nombres premiers et on admettra que tout nombre entier $n \geq 1$
s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme d'un produit de nombres premiers.

\vspace{0.1cm}
(i) Soit $\N \geq 2$ un nombre entier naturel et soient $p_1 < p_2 < \ldots < p_r$ les nombres premiers inf\'erieurs \`a $\N$.

\'Etablir la minoration $$\prod_{i = 1}^{r} \frac{1}{1 - p_i^{-1}} \geq \sum_{n = 1}^{\N} \frac{1}{n}$$ et en d\'eduire que l'ensemble $\mathcal{P}$ est infini. 

(On pourra penser \`a utiliser l'identit\'e $\sum_{k \geq 0} p^{-k} = \frac{1}{1 - p^{-1}}$.)

\vspace{0.1cm} 
(ii) Quel que soit l'entier naturel $i$, on d\'esigne maintenant par $p_i$ le $i$-\`eme nombre premier (donc $p_1=2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$, etc.) et on suppose $s$ r\'eel.

D\'emontrer l'encadrement $$\sum_{n = 1}^{\N} \frac{1}{n^s} \leq \prod_{i=1}^{\N} \frac{1}{1 - p_{i}^{-s}} \leq \sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n^s}.$$

\vspace{0.1cm}
(iii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que la suite $\left(\prod_{n = 1}^{\N} \frac{1}{1 - p_{n}^{-s}} \right)_{\N \geq 1}$ converge vers $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$.

\vspace{4cm} {\small \emph{La fonction $$\zeta : \{s \in \mathbb{C} \ | \ \mathfrak{R}(s) \geq 1\} \rightarrow \mathbb{C}, \ s \mapsto \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$ est la \emph{fonction z\^eta de Riemann}, du nom du math\'ematicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866) qui l'a introduite et a d\'emontr\'e le r\^ole fondamental qu'elle joue en arithm\'etique.}

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 2 - Jeudi 3 octobre 2007}}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

1) Pr\'eciser le comportement des s\'eries de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{\alpha}}$,  $\alpha \in \mathbb{R}_{>0}$. 

\vspace{0.2cm}

2) D\'emontrer que la s\'erie harmonique $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}$ diverge.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (7 points) ---

\vspace{0.1cm}
1) D\'emontrer que la s\'erie de terme g\'en\'eral $\frac{(-1)^n}{n}$
est convergente.

\vspace{0.1cm} On rappelle le d\'eveloppement asymptotique $$\sum_{n=1}^{\N} \frac{1}{n} = \operatorname{log}(\N) + \gamma + o(1),$$ o\`u $\gamma \in \mathbb{R}$ est la \emph{constante d'Euler}.

\vspace{0.1cm} 2) L'objet de cette question est de calculer la somme de la s\'erie harmonique altern\'ee $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$. 

\vspace{0.1cm}

\indent (i) En utilisant l'indication pr\'ec\'edente, donner un d\'eveloppement asymptotique de $$\sum_{n=1}^{\N} \frac{1}{2n} \ \ \textrm{ et } \ \ \sum_{n=0}^{\N} \frac{1}{2n+1}.$$

\indent (ii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede la somme de la s\'erie harmonique altern\'ee.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (8 points) --- On rappelle qu'une s\'erie r\'eelle $\sum_{n \geq 0} u_n$ est 
dite \emph{semi-convergente} si elle convergente mais non absolument convergente.

\vspace{0.2cm} 
1) Donner un exemple de s\'erie r\'eelle semi-convergente.

\vspace{0.2cm}
2) Soit $\sum_{n \geq 0} u_n$ une s\'erie r\'eelle semi-convergente. On suppose $u_n \neq 0$ pour tout $n$.

\indent (i) Justifier qu'il existe une infinit\'e d'entiers $n$ tels que $u_n$ soit positif et une infinit\'e d'entiers $n$ tels que $u_n$ soit n\'egatif.
 
\indent (ii) Soit $\sum_{n \geq 0} u_{n}^{+}$ la s\'erie des termes positifs de $\sum_{n \geq 0} u_n$ et $\sum_{n \geq 0} u_{n}^{-}$ celle de ses termes n\'egatifs.

D\'emontrer que l'une au moins de ces deux s\'eries est divergente.

\indent (iii) Supposons que la s\'erie $\sum_{n \geq 0} u_{n}^{+}$ soit divergente. D\'emontrer qu'il existe une bijection $\sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ telle que la s\'erie $\sum_{n \geq 0} u_{\sigma(n)}$ soit divergente.

\vspace{0.2cm} \emph{Indication : sommer d'abord les premiers termes positifs jusqu'\`a obtenir $1$ puis retrancher le premier terme n\'egatif ; sommer de nouveau les termes positifs restant jusqu'\`a obtenir $2$, retrancher le deuxi\`eme terme n\'egatif, etc. et justifier que ce proc\'ed\'e d\'efinit une s\'erie dont les sommes partielles tendent vers $+\infty$.}

\vspace{0.2cm} 3) Esquisser bri\`evement un raisonnement analogue lorsque la s\'erie des termes n\'egatifs est divergente et \'enoncer le th\'eor\`eme ainsi d\'emontr\'e.

\newpage
\end{document} 