Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 4 - Mercredi 17 octobre 2007

Question de cours (5 points) —

1) Soit (z_{n}) une suite de nombres complexes. Démontrer que la série ∑_{n}z_{n} converge si et seulement si les séries réelles ∑_{n}ℜ𝔢(z_{n}) et ∑_{n}ℑ𝔪(z_{n}) convergent.

2) Énoncer la règle d’Abel pour la convergence des séries alternées et donner un exemple de série alternée convergente mais non absolument convergente.

Premier exercice (6 points) — 1) Démontrer que la série ∑_{n} \frac{z^{n}}{n!} est absolument convergente pour tout nombre complexe z.

2) Démontrer que la fonction

ℂ → ℂ, z ↦ ∑_{n=0}^{+∞} \frac{z^{n}}{n!}

est continue. (Indication : on pourra commencer par établir la majoration |(z + ε)^{n}− z^{n}| ≤ n|ε|(|z| + 1)^{n} pour tous n ∈ ℕ et z,ε ∈ ℂ avec |ε| ≤ 1.)

Second exercice (9 points) — Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites de nombres complexes. On suppose que

(i) la série |u_{0}− u_{1}| + |u_{1}− u_{2}| + ...+ |u_{n}− u_{n−1} | + ... est convergente ;

(ii) la suite (∑ _{n=1}^{N} v_{n})_{N∈ℕ} est bornée.

On pose

U_{m}= ∑_{n=m+1}^{+∞} |u_{n}− u_{n−1} | et V_{m}= v_{0}+ v_{1}+ ...+ v_{m}.

1) Établir l’identité

∑_{n=0}^{N} u_{n}v_{n} = ∑_{n=0}^{N−1}(u_{n}− u_{n+1} )V_{n}+ u_{N}V_{N}

pour tout entier N ≥ 1. (Indication : écrire v_{n} sous la forme v_{n} = V_{n}− V_{n−1} pour n ≥ 1.)

2) Déduire de ce qui précède le théorème d’Abel : sous les hypothèses initiales sur les suites (u_{n}) et (v_{n}), la série ∑_{n}u_{n}v_{n} converge et sa somme est majorée par U_{0}sup_{n≥0} |V_{n}|.

3) En guise d’application, démontrer la règle d’Abel sur la convergence des séries alternées.

Khôlle 4 - Mercredi 17 octobre 2007

Question de cours (5 points) —

Énoncer et démontrer la règle de comparaison séries-intégrales.

Premier exercice (6 points) —

Étudier la convergence de la série ∑_{n} \frac{1}{nlog(n)}.

Second exercice (9 points) — Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites réelles à termes positifs telles que u_{n} ∼ v_{n} lorsque n tend vers +∞.

1) On suppose que la série ∑_{n}v_{n} diverge.

(i) Quel que soit l’entier n_{0}, vérifier que

∑_{n=0}^{N} v_{n} ∼ ∑_{n=n_{0}}^{N} v_{n}

lorsque N tend vers +∞.

(ii) Démontrer que la série ∑_{n}u_{n} diverge et que

∑_{n=0}^{N} u_{n} ∼ ∑_{n=0}^{N} v_{n}

lorsque N tend vers +∞.

2) On suppose que la série ∑_{n}v_{n} converge. Démontrer qu’alors la série ∑_{n}u_{n} converge et que

∑_{n=N}^{+∞} u_{n} ∼ ∑_{n=N}^{+∞} v_{n}

lorsque N tend vers +∞.

3) En guise d’application de ce qui précède, on va établir le développement asymptotique

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = log(N) + γ + \frac{1}{2N} + o( \frac{1}{N})

lorsque N tend vers +∞, où γ est un nombre réel (la constante d’Euler).

(i) Démontrer que

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} ∼ log(N) et ∑_{n=N}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} ∼ \frac{1}{N}

lorsque N tend vers +∞. (Indication : comparer ces séries à des intégrales).

(ii) En utilisant la suite u_{n} = \frac{1}{n} − (log(n) − log(n − 1)), déduire des questions précédentes le développement asymptotique annoncé pour ∑ _{n=1}^{N} \frac{1}{n}.

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Khôlle 4 - Mercredi 17 octobre 2007

Question de cours (5 points) —

Soit Ω un ouvert de ℝ et soit (f_{n})_{n∈ℕ} une suite de fonctions définies sur Ω à valeurs réelles.

1) Que signifie l’expression « la suite (f_{n}) converge uniformément vers une fonction f : Ω → ℝ » ?

2) On suppose que la suite (f_{n}) converge uniformément vers une fonction f : Ω → ℝ. Démontrer que, si chacune des fonctions f_{n} est continue, alors la fonction f est continue.

Premier exercice (7 points) —

1) Étudier la convergence de la série complexe ∑_{n} \frac{i^{n}}{n}.

2) En admettant le développement asymptotique

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{N} = log(N) + γ + o(1)

lorsque N tend vers +∞, où γ est un nombre réel (la constante d’Euler), calculer la partie réelle du nombre complexe ∑ _{n=1}^{∞} \frac{i^{n}}{n}.

Second exercice (8 points) —

1) Écrire le développement de Taylor à l’ordre n en 0 de la fonction arctan(x) et expliciter le reste sous forme intégrale.

2) Quel que soit x ∈ [0,1[, démontrer que arctan(x) est la somme de sa série de Taylor en 0, c’est-à-dire

arctan(x) = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{n!} arctan^{(n)}(0)x^{n}.