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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\thispagestyle{empty}

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 4 - Mercredi 17 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

\vspace{0.2cm}

\vspace{0.1cm} 1) Soit $(z_n)$ une suite de nombres complexes. D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n} z_n$ converge si et seulement si les s\'eries r\'eelles $\sum_{n} \mathfrak{Re}(z_n)$ et $\sum_{n} \mathfrak{Im}(z_n)$ convergent.

2) \'Enoncer la r\`egle d'Abel pour la convergence des s\'eries altern\'ees et donner un exemple de s\'erie altern\'ee convergente mais non absolument convergente.

\vspace{0.1cm}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (6 points) --- 

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n} \frac{z^n}{n!}$ est absolument convergente pour tout nombre complexe $z$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la fonction $$\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C},  \ \ \ z \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}$$ est continue. (\emph{Indication} : on pourra commencer par \'etablir la majoration $|(z+\varepsilon)^n - z^n| \leq n|\varepsilon|(|z|+1)^n$ pour tous $n \in \mathbb{N}$ et $z, \varepsilon \in \mathbb{C}$ avec $|\varepsilon| \leq 1$.)

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (9 points) ---
\vspace{0.2cm} Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres complexes. On suppose que

\indent (i) la s\'erie $|u_0 - u_1| + |u_1 - u_2| + \ldots + |u_n - u_{n-1}|+ \ldots$ est convergente ;

\indent (ii) la suite $\left(\sum_{n=1}^{\N} v_n \right)_{\N \in \mathbb{N}}$ est born\'ee.


\vspace{0.1cm} On pose $$\U_m = \sum_{n = m+1}^{+\infty} |u_n - u_{n-1}| \ \ \textrm{ et } \ \ \V_{m} = v_0 + v_{1} + \ldots + v_m.$$

1) \'Etablir l'identit\'e $$\sum_{n=0}^{\N} u_n v_n = \sum_{n=0}^{\N-1} (u_n - u_{n+1})\V_{n} + u_{\N}\V_{\N}$$ pour tout entier $\N \geq 1$. (\emph{Indication} : \'ecrire $v_n$ sous la forme $v_n  = \V_{n} - \V_{n-1}$ pour $n \geq 1$.)

\vspace{0.1cm} 2) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede le \emph{th\'eor\`eme d'Abel} : sous les hypoth\`eses initiales sur les suites $(u_n)$ et $(v_n)$, la s\'erie $\sum_{n} u_n v_n$ converge et sa somme est major\'ee par $\U_0 \sup_{n \geq 0} |\V_n|$.

\vspace{0.1cm} 3) En guise d'application, d\'emontrer la r\`egle d'Abel sur la convergence des s\'eries altern\'ees.

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\hrule

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 4 - Mercredi 17 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

\vspace{0.2cm} \'Enoncer et d\'emontrer la r\`egle de comparaison s\'eries-int\'egrales.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (6 points) ---

\vspace{0.2cm} \'Etudier la convergence de la s\'erie $\sum_{n} \frac{1}{n \operatorname{log}(n)}$.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (9 points) ---  Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites r\'eelles \`a termes positifs telles que $u_n \sim v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

\indent 1) On suppose que la s\'erie $\sum_{n} v_n$ diverge.

\indent (i) Quel que soit l'entier $n_0$, v\'erifier que $$\sum_{n=0}^{\N} v_n \sim \sum_{n=n_0}^{\N} v_n$$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$.

\indent (ii) D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n} u_n$ diverge et que $$\sum_{n = 0}^{\N} u_n \sim \sum_{n = 0}^{\N} v_n$$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$.

\vspace{0.1cm} 2) On suppose que la s\'erie $\sum_{n} v_n$ converge. D\'emontrer qu'alors la s\'erie $\sum_n u_n$ converge et que $$\sum_{n=\N}^{+\infty} u_n \sim \sum_{n=\N}^{+\infty} v_n$$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$.

\vspace{0.1cm} 3) En guise d'application de ce qui pr\'ec\`ede, on va \'etablir le d\'eveloppement asymptotique $$\sum_{n = 1}^{\N} \frac{1}{n} = \operatorname{log}(\N) + \gamma + \frac{1}{2\N} + \mathrm{o}\left(\frac{1}{\N} \right)$$
lorsque $\N$ tend vers $+\infty$, o\`u $\gamma$ est un nombre r\'eel (la \emph{constante d'Euler}).

\indent (i) D\'emontrer que $$\sum_{n=1}^{\N} \frac{1}{n} \sim \operatorname{log} (\N) \ \ \textrm{et} \ \ \sum_{n=\N}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \sim \frac{1}{\N}$$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$. (\emph{Indication} : comparer ces s\'eries \`a des int\'egrales).

\indent (ii) En utilisant la suite $u_n = \frac{1}{n} - (\operatorname{log}(n) - \operatorname{log}(n-1))$, d\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le d\'eveloppement asymptotique annonc\'e pour $\sum_{n = 1}^{\N} \frac{1}{n}$.


\cleardoublepage,

\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 4 - Mercredi 17 octobre 2007}}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

\vspace{0.2cm}
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}$ et soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions d\'efinies sur $\Omega$ \`a valeurs r\'eelles.

\vspace{0.1cm}
1) Que signifie l'expression \og la suite $(f_n)$ converge uniform\'ement vers une fonction $f : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ \fg ?

\vspace{0.1cm}
2) On suppose que la suite $(f_n)$ converge uniform\'ement vers une fonction $f : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. D\'emontrer que, si chacune des fonctions
$f_n$ est continue, alors la fonction $f$ est continue.


\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (7 points) ---

\vspace{0.2cm} 1) \'Etudier la convergence de la s\'erie complexe $\sum_{n} \frac{i^n}{n}$.

\vspace{0.1cm} 2) En admettant le d\'eveloppement asymptotique $$\sum_{n=1}^{\N} \frac{1}{\N} = \operatorname{log}(\N) + \gamma + \mathrm{o}(1)$$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$, o\`u $\gamma$ est un nombre r\'eel (la \emph{constante d'Euler}), calculer la partie r\'eelle du nombre complexe $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^n}{n}$.


\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (8 points) ---

\vspace{0.2cm}
1) \'Ecrire le d\'eveloppement de Taylor \`a l'ordre $n$ en $0$ de la fonction $\operatorname{arctan} (x)$ et expliciter le reste sous forme int\'egrale.

\vspace{0.2cm}
2) Quel que soit $x \in [0,1[$, d\'emontrer que $\operatorname{arctan}(x)$ est la somme de sa s\'erie de Taylor en $0$, c'est-\`a-dire $$\operatorname{arctan}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \operatorname{arctan}^{(n)}(0) x^n.$$

\newpage
\end{document} 