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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 5 - Mercredi 24 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

\vspace{0.2cm} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions complexes d\'efinies et continues sur un ouvert
$\Omega$ de $\C$.

1) Si la suite $(f_n)$ converge uniform\'ement, d\'emontrer que sa limite $f$ est une fonction continue.

2) \'Enoncer le crit\`ere d'Abel pour la convergence
de la s\'erie $\sum_{n \in \Nb}\ f_n$.

\vspace{0.1cm}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (8 points) --- Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite
de fonctions r\'eelles d\'efinies sur un intervalle $\Ir$ de $\R$ et convergeant
simplement vers une fonction r\'eelle $f$ sur $\Ir$.

\vspace{0.1cm} (i) On suppose que
$$x\leq y\ \Rightarrow\ f_n(x)\leq f_n(y)$$
pour tous $x,y\in I$ et tout $n\in\N$.

D\'emontrer que
$$x\leq y\ \Rightarrow\ f(x)\leq f(y)$$ pour tous $x, y \in \Ir$.

\vspace{0.1cm}
(ii) Supposons maintenant que
$$x< y \Longrightarrow f_n(x)< f_n(y)$$ pour tous $x,y\in \Ir$ et tout $n\in\N$.

\`A l'aide d'un exemple, justifier que l'application $f$ peut {\em ne pas}
\^etre strictement croissante.

Qu'en est-il si la convergence est uniforme?

\vspace{0.1cm}
(iii) Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $\R$ telle que
 $$f(0)=\lim_{+\infty}\ f= \lim_{-\infty} f = 0.$$

D\'emontrer que la suite de fonctions r\'eelles $(f_n)_{n\in\N^*}$ d\'efinies
par $f_n(x)=f(nx)$ converge vers simplement vers $0$.

\vspace{0.1cm}
D\'emontrer que la convergence de la suite $(f_n)$ est uniforme si et seulement si $f=0$.
\vspace{0.5cm}


\noindent \textbf{Second exercice} (7 points) --- \'Etudier la convergence de la suite de fonctions
$$\begin{array}[b]{ccccc}
f_n&:&]0,1]&\longrightarrow&\R\\
& & x&\longmapsto&\frac{n(x^3+x)e^{-x}}{nx+1}
\end{array}\ \ \ (n \in \Nb).$$


\cleardoublepage

\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 5 - Mercredi 24 octobre 2007}}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

1) D\'efinir les notions de convergence
normale et de convergence uniforme pour les s\'eries
de fonctions.

2) D\'emontrer que si une s\'erie de fonctions est normalement
convergente, elle est converge uniform\'ement.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (8 points) --- Soit $(f_n)_{n \in \Nb}$ une suite de fonctions
r\'eelles d\'efinies et d\'erivables sur un intervalle $[a,b]$ de $\R$.

On suppose que cette suite converge simplement vers $0$ et
qu'il existe une constante $M\in\R_+$ telle que $$|f_n'(x)|\leq M$$ pour tout $x \in [a,b]$ 
et tout $n \in \Nb$.

\vspace{0.1cm}
(i) Soit $\varepsilon$ un nombre r\'eel strictement positif. D\'emontrer qu'il existe un entier
naturel $k$ et une partition $a=x_0<x_1<\ldots<x_{k+1}=b$
de l'intervalle $[a,b]$ tels que
la condition suivante soit vraie sur chaque
intervalle $[x_i,x_{i+1}]$:
$$
\forall t\in[x_i,x_{i+1}],\
\forall n\in\Nb,\
|f_n(t)-f_n(x_i)|\leq \frac{\varepsilon}{2}.$$

\vspace{0.1cm} (ii) Soit $\varepsilon$ un nombre r\'eel strictement positif. D\'emontrer qu'il existe
un entier naturel $\N$ tel que
$$n\geq \N\ \Longrightarrow \ \forall x \in [a,b],  \ |f_n(x)|< \varepsilon.$$

\vspace{0.1cm} D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que la suite $(f_n)$ est uniform\'ement convergente.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (7 points) --- \'Etudier la convergence de la suite de fonctions
$$\begin{array}[b]{ccccc}
f_n&:&\R&\longrightarrow&\R\\
& & x&\longmapsto&\frac{n^3x}{n^4+x^4}
\end{array}\ \ \ (n\in\Nb - \{0\}).$$

\cleardoublepage,

\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 5 - Mercredi 24 octobre 2007}}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) ---

1) \'Enoncer et d\'emontrer la r\`egle de comparaison s\'erie-int\'egrale.

2) \'Enoncer le th\'eor\`eme de d\'erivation des suites de fonctions.


\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (8 points) --- Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie et continue sur $\R$
telle qu'il existe un nombre r\'eel $M \in \R_{\geq 0}$ satisfaisant \`a
la condition suivante:
$$\forall x,\ y\in\R, \ \ \ |f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq M.$$

\vspace{0.1cm} Soit $(f_n)_{n \in \Nb}$ la suite de fonctions r\'eelles d\'efinie par $f_n(x)={1\over 2^n}f(2^nx)$.

\vspace{0.1cm}
(i) D\'emontrer que $|f_{n+1}(x)-f_n(x)|\leq{M\over 2^{n+1}}$ pour tout $x \in \R$ et tout $n \in \Nb$.

\vspace{0.1cm} 
(ii) D\'emontrer que la suite
$(f_n)_{n\in\N}$ converge uniform\'ement vers
une fonction continue $g$, que l'on ne demande pas d'expliciter.

\vspace{0.1cm}
(iii) D\'emontrer que $g(x+y)=g(x)+g(y)$ pour tous $x,\ y \in \R$. En d\'eduire que $g(\lambda x)=\lambda g(x)$ pour tous $\lambda \in \Qb$, $x \in \R$. 

\vspace{0.1cm} 
(iv) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe un nombre r\'eel $\alpha$
tel que $$g(x) = \alpha x$$ pour tout $x \in \R$. (\emph{Indication : on rappelle que tout nombre r\'eel est la limite d'une suite de nombre rationnels.})

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Second exercice} (7 points) --- \'Etudier la convergence de la suite de fonctions
$$\begin{array}[b]{ccccc}
f_n&:&\R&\longrightarrow&\R\\
& & x&\longmapsto&\cos\left(\frac{nx}{n+1}\right)
\end{array}\ \ \ (n\in\Nb).$$

\end{document} 