Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 6 - Mercredi 31 octobre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (a_{n}) une suite de nombres complexes.

1) Donner la définition du rayon de convergence R de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}, a_{n} ∈ ℂ.

2) Démontrer que la série ∑_{n}a_{n}z^{n} est normalement convergente sur tout disque fermé \overline{D}(0,r) contenu dans le disque ouvert D(0,R). Que peut-on en déduire quant à l’ensemble des nombres complexes t pour lesquels la série numérique ∑_{n}a_{n}t^{n} converge ?

Premier exercice (4 points) — Quel que soit l’entier naturel n ≥ 2, on définit une fonction réelle f_{n} sur ℝ par f_{n} = \frac{cos(nx)}{n^{2}+x^{2}−1} .

Étudier la converge de la série de fonctions ∑_{n}f_{n}.

Deuxième exercice (5 points) — Quel que soit l’entier naturel n ≥ 1, on définit une fonction réelle f_{n} sur ℝ en posant

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}1 + x^{2}sin( \frac{1}{nx}) & si x ≠ 0 \\ 1 & si x = 0 \end{matrix} .

1) Démontrer que la suite (f_{n}) est simplement convergente et déterminer sa limite f.

2) Démontrer que la suite (f_{n}) est uniformément convergente sur tout intervalle borné de ℝ.

3) Démontrer que la suite (f_{n}) n’est pas uniformément convergente sur ℝ tout entier.

Troisième exercice (6 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles sur ℝ convergeant uniformément vers une fonction f.

1) Supposons que f soit majorée ; démontrer qu’alors la suite de fonctions (e^{f_{n}}) et uniformément convergente et déterminer sa limite.

2) Exhiber un contre-exemple montrant que ceci n’est plus vrai si l’on ne suppose pas f majorée.

Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 6 - Mercredi 31 octobre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles et continues définies sur un intervalle I de ℝ.

1) Rappeler la définition de la convergence uniforme pour la série de fonctions ∑_{n}f_{n}.

2) On suppose que la série ∑_{n}f_{n} converge uniformément sur I vers une fonction f. Démontrer que la fonction f est continue sur I.

Premier exercice (4 points) — Soit (f_{n})_{n≥1} la suite de fonctions réelles définies sur ℝ par

f_{n}(x) = \frac{1}{1 + x^{n}} .

Étudier la convergence de la série ∑ f_{n} sur ]1,+∞[, puis sur ]a,+∞[ avec a > 1.

Deuxième exercice (5 points) — Soient (u_{n}) une suite de nombres réels convergeant vers u et (v_{n}) une suite de nombres réels positifs convergeant vers v; on suppose v > 0. On définit pour tout entier naturel n une fonction réelle f_{n} sur [0,+∞[ par

f_{n}(x) = \frac{x + u_{n}}{x + v_{n}} .

Démontrer que la suite (f_{n}) converge uniformément sur [0,+∞[.

Troisième exercice (6 points) — Soit (P_{n}) une suite de polynômes qui converge uniformément vers une fonction f sur ℝ.

1) Démontrer que f est aussi un polynôme.

2) Le résultat précédent reste-t-il vrai si l’on remplace ℝ par un intervalle borné (penser aux séries de Taylor...) ?

Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Question de cours (5 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles définies et continues sur un segment [a,b] de ℝ.

1) Rappeler la définition de la convergence uniforme pour la série de fonctions ∑_{n}f_{n}.

2) On suppose que la série ∑_{n}f_{n} converge uniformément sur [a,b] vers une fonction f. Justifier l’existence de ∫_{a}^{b}f(t)dt puis démontrer que c’est la somme de la série

∑_{n} ∫_{a}^{b}f_{n}(t)dt.

Premier exercice (5 points) — Quel que soit l’entier naturel n ≥ 1, on définit une fonction réelle f_{n} sur ℝ par

f_{n}(x) = \frac{x}{n^{2}+ x^{2}} .

Étudier la convergence de la série de fonctions ∑ f_{n} sur [0,+∞[, puis sur [0,a] avec a ∈ ℝ^{+} .

Deuxième exercice (5 points) — Étudier la convergence de la suite

( ∫_{−1}^{1} \frac{n^{2}x + cos(\sqrt{n}x)}{n^{2}+ x^{2}}dx)

et, le cas échéans, déterminer sa limite.

Troisième exercice (6 points) — Soit (f_{n})_{n≥0} une suite de fonctions continues de [0,1] dans ℝ. On suppose que cette suite converge simplement vers 0 et que, pour tout point x ∈ [0,1], la suite (f_{n}(x))_{n≥0} est décroissante.

Le but de cet exercice est de démontrer que la suite (f_{n})_{n≥0} converge uniformément vers 0 sur [0,1].

1. Justifier les deux faits suivants :

(a) pour tout n ≥ 0, il existe un point x_{n} ∈ [0,1] tel que : f_{n}(x_{n}) = sup_{x∈[0,1]}f_{n}(x)

(b) il existe une sous-suite (x_{n_{k}})_{k≥0} de (x_{n})_{n≥0} admettant une limite x̃∈ [0,1].

2. Pourquoi la suite (f_{n}(x_{n}))_{n≥0} admet-elle une limite ℓ?

3. Démontrer que

f_{n}(x̃) ≥ ℓ

pour tout entier naturel n et conclure la preuve.

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