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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 6 - Mercredi 31 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes.

\vspace{0.2cm} 1) Donner la d\'efinition du rayon de convergence $\mathrm{R}$ de la s\'erie enti\`ere $\sum_{n} a_n z^n$, $a_n \in \mathbb{C}$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n} a_n z^n$ est normalement convergente sur tout disque ferm\'e $\overline{\D}(0,r)$ contenu dans le disque ouvert $\D(0,\mathrm{R})$. Que peut-on en d\'eduire quant \`a l'ensemble des nombres complexes $t$ pour lesquels la s\'erie num\'erique $\sum_{n} a_n t^n$ converge?

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (4 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n \geq 2$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par $f_n = \frac{\cos (nx)}{n^2+x^2-1}$. 

\'Etudier la converge de la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- 

\vspace{0.1cm} Quel que soit l'entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $\mathbb{R}$ en posant
$$f_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1+x^2 \sin\left(\frac{1}{nx}\right) & \ \textrm{si } x \neq 0 \\ 1 & \ \textrm{si } x=0 \end{array} \right..$$

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que la suite $(f_n)$ est simplement convergente et d\'eterminer sa limite $f$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la suite $(f_n)$ est uniform\'ement convergente sur tout intervalle born\'e de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 3) D\'emontrer que la suite $(f_n)$ n'est pas uniform\'ement convergente sur $\mathbb{R}$ tout entier.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles sur $\mathbb{R}$ convergeant uniform\'ement vers une fonction $f$.

\vspace{0.1cm} 1) Supposons que $f$ soit major\'ee ; d\'emontrer qu'alors la suite de fonctions $(\mathrm{e}^{f_n})$ et uniform\'ement convergente et d\'eterminer sa limite.

\vspace{0.1cm} 2) Exhiber un contre-exemple montrant que ceci n'est plus vrai si l'on ne suppose pas $f$ major\'ee.

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 6 - Mercredi 31 octobre 2007}}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles et continues d\'efinies sur un intervalle $\Ir$ de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1) Rappeler la d\'efinition de la convergence uniforme pour la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$.

\vspace{0.1cm} 2) On suppose que la s\'erie $\sum_n f_n$ converge uniform\'ement sur $\Ir$ vers une fonction $f$. D\'emontrer que la fonction $f$ est continue sur $\Ir$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (4 points) --- Soit $(f_n)_{n \geq 1}$ la suite de fonctions r\'eelles d\'efinies sur $\mathbb{R}$ par $$f_n(x) = \frac{1}{1+ x^n}.$$ \'Etudier la convergence de la s\'erie $\sum f_n$ sur $]1,+\infty[$, puis sur $]a,+\infty[$ avec $a >1$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- Soient $(u_n)$ une suite de nombres r\'eels convergeant vers $u$ et $(v_n)$ une suite de nombres r\'eels positifs convergeant vers $v$ ; on suppose $v >0$. On d\'efinit pour tout entier naturel $n$ une fonction r\'eelle $f_n$ sur $[0,+\infty[$ par
$$ f_n(x) = \frac{x +u_n}{x+v_n} .$$
D\'emontrer que la suite $(f_n)$ converge uniform\'ement sur $[0,+\infty[$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- Soit $(\rP_n)$ une suite de polyn\^omes qui converge uniform\'ement vers une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que $f$ est aussi un polyn\^ome. 

\vspace{0.1cm} 2) Le r\'esultat pr\'ec\'edent reste-t-il vrai si l'on remplace $\mathbb{R}$ par un intervalle born\'e (penser aux s\'eries de Taylor...)?

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\vspace{2cm}


\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles d\'efinies et continues sur un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1) Rappeler la d\'efinition de la convergence uniforme pour la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$.

\vspace{0.1cm} 2) On suppose que la s\'erie $\sum_n f_n$ converge uniform\'ement sur $[a,b]$ vers une fonction $f$. Justifier l'existence de $\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d}t$ puis d\'emontrer que c'est la somme de la s\'erie $$\sum_n \int_{a}^{b} f_n(t) \mathrm{d}t.$$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par $$f_n(x) = \frac{x}{n^2+ x^2}.$$ \'Etudier la convergence de la s\'erie de fonctions $\sum f_n$ sur $[0,+\infty[$, puis sur $[0,a]$ avec $a \in \R^+$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- \'Etudier la convergence de la suite $$\left(\int_{-1}^1 \frac{n^2 x +\cos(\sqrt{n} x)}{n^2+x^2} \mathrm{d}x \right)$$ et, le cas \'ech\'eans, d\'eterminer sa limite.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que cette suite converge simplement vers $0$ et que, pour tout point $x\in [0,1]$, la suite $(f_n(x))_{n\geq 0}$ est d\'ecroissante. 

Le but de cet exercice est de d\'emontrer que la suite $(f_n)_{n\geq 0}$ converge \emph{uniform\'ement} vers $0$ sur $[0,1]$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier les deux faits suivants : 
	\begin{enumerate}
	\item pour tout $n\geq 0$, il existe un point $x_n \in [0,1]$ tel que : $f_n(x_n) = \sup_{x\in[0,1]} f_n(x)\;$
	\item il existe une sous-suite $(x_{n_k})_{k\geq 0}$ de $(x_n)_{n\geq 0}$ admettant une limite 
$\widetilde{x}\in[0,1]$. 
	\end{enumerate}
	\item Pourquoi la suite $(f_n(x_n))_{n\geq 0}$ admet-elle une limite $\ell$ ? 
	\item D\'emontrer que $$f_n(\widetilde{x})\geq \ell$$ pour tout entier naturel $n$ et conclure la preuve. 
\end{enumerate}

\newpage

\end{document}