Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 6 - Mercredi 31 octobre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (a_{n}) une suite de nombres complexes.

1) Donner la définition du rayon de convergence R de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}, a_{n} ∈ ℂ.

2) Démontrer que la série ∑_{n}a_{n}z^{n} est normalement convergente sur tout disque fermé \overline{D}(0,r) contenu dans le disque ouvert D(0,R). Que peut-on en déduire quant à l’ensemble des nombres complexes t pour lesquels la série numérique ∑_{n}a_{n}t^{n} converge ?

Premier exercice (4 points) — Quel que soit l’entier naturel n ≥ 1, on définit une fonction réelle f_{n} sur ℝ par

f_{n}(x) = \frac{\sqrt{x}}{n^{2}+ x^{2}} .

Étudier la convergence de la série ∑ f_{n} sur [0,+∞[.

Deuxième exercice (5 points) — 1) Démontrer que la série de terme général \frac{1}{4n^{3}−n} est convergente.

2) Décomposer la fraction rationnelle \frac{1}{4T^{3}−T} en éléments simples.

3) On rappelle que la série harmonique alternée ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n} converge et a pour somme −log(2). Calculer la somme de la série ∑_{n≥1} \frac{1}{4n^{3}−n}.

Troisième exercice (6 points) — Soit (f_{n})_{n≥0} une suite de fonctions continues de [0,1] dans ℝ. On suppose que cette suite converge simplement vers 0 et que, pour tout point x ∈ [0,1], la suite (f_{n}(x))_{n≥0} est décroissante.

Le but de cet exercice est de démontrer que la suite (f_{n})_{n≥0} converge uniformément vers 0 sur [0,1].

1. Justifier les deux faits suivants :

(a) pour tout n ≥ 0, il existe un point x_{n} ∈ [0,1] tel que : f_{n}(x_{n}) = sup_{x∈[0,1]}f_{n}(x)

(b) il existe une sous-suite (x_{n_{k}})_{k≥0} de (x_{n})_{n≥0} admettant une limite x̃∈ [0,1].

2. Pourquoi la suite (f_{n}(x_{n}))_{n≥0} admet-elle une limite ℓ?

3. Démontrer que

f_{n}(x̃) ≥ ℓ

pour tout entier naturel n et conclure la preuve.

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Khôlle 6 - Mercredi 31 octobre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles définies et continues sur un segment [a,b] de ℝ.

1) Rappeler la définition de la convergence uniforme pour la série de fonctions ∑_{n}f_{n}.

2) On suppose que la série ∑_{n}f_{n} converge uniformément sur [a,b] vers une fonction f. Justifier l’existence de l’intégrale ∫_{a}^{b}f(t)dt puis démontrer que c’est la somme de la série

∑_{n} ∫_{a}^{b}f_{n}(t)dt.

Premier exercice (4 points) — Quel que soit l’entier naturel n, on définit une fonction réelle sur ℝ par f_{n}(x) = cos( \frac{nx}{n+1} ). Étudier la convergence de la suite (f_{n}) sur ℝ.

Deuxième exercice (6 points) — 1) Écrire le développement de Taylor à l’ordre n en 0 de la fonction arctan(x) et expliciter le reste sous forme intégrale.

2) Démontrer que la série entière

∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{n!} arctan^{(n)}(0)x^{n}

converge uniformément vers la fonction arctansur tout intervalle borné de ℝ.

3) Démontrer l’identité

\frac{π}{4} = ∑_{n=0}^{+∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n + 1} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ....

Troisième exercice (5 points) — Soit (u_{n}) une suite de fonctions continues sur [0,1]. On suppose que cette suite satisfait aux deux conditions suivantes :

1. elle est uniformément bornée : il existe M > 0 tel que |u_{n}(x)| ≤ M pour tout entier naturel n et tout point x ∈ [0,1] ;

2. elle converge uniformément vers 0 sur tout segment contenu dans ]0,1].

On pose f_{n}(x) = xu_{n}(x). Démontrer que la suite de fonctions (f_{n}) converge uniformément vers 0 sur [0,1].

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Khôlle 6 - Mercredi 31 octobre 2007

Question de cours (5 points) — Énoncer et démontrer la règle de comparaison entre une série et une intégrale.

Premier exercice (4 points) — Quel que soit l’entier naturel n, on définit une fonction réelle f_{n} sur ]0,1] par

f_{n}(x) = \frac{n(x^{3}+ x)e^{−x}}{nx + 1} .

Étudier la convergence de la suite de fonctions (f_{n}) sur ]0,1], puis sur [δ,1] avec δ > 0.

Deuxième exercice (6 points) — Quel que soit l’entier naturel n ≥ 1, on définit des fonctions réelles f_{n} et g_{n} sur [0,1] par

f_{n}(x) = \frac{1 + sinx}{x + 1/n} , et g_{n}(x) = \frac{sinx}{x + 1/n} .

1. Démontrer que la suite de terme général ∫_{0}^{1}f_{n}(x)dx tend vers +∞.

2. Déterminer la limite (simple), notée g, de la suite de fonctions (g_{n}).

3. Démontrer que la convergence de (g_{n}) vers g est uniforme sur [δ,1] pour tout δ > 0.

4. Démontrer que la suite de terme général ∫_{0}^{1}g_{n}(x)dx converge vers ∫_{0}^{1}g(x)dx.

5. Donner un équivalent simple de ∫_{0}^{1}f_{n}(x)dx lorsque n tend vers +∞.

Troisième exercice (5 points) — Soit (P_{n}) une suite de polynômes qui converge uniformément vers une fonction f sur ℝ.

1) Démontrer que f est aussi un polynôme.

2) Le résultat précédent reste-t-il vrai si l’on remplace ℝ par un intervalle borné (penser aux séries de Taylor...) ?

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