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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 6 - Mercredi 31 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles et continues d\'efinies sur un intervalle $\Ir$ de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1) Rappeler la d\'efinition de la convergence uniforme pour la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$.

\vspace{0.1cm} 2) On suppose que la s\'erie $\sum_n f_n$ converge uniform\'ement sur $\Ir$ vers une fonction $f$. D\'emontrer que la fonction $f$ est continue sur $\Ir$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (4 points) ---
Quel que soit l'entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par $$f_n(x) = \frac{\sqrt{x}}{n^2+ x^2}.$$ 

\'Etudier la convergence de la s\'erie $\sum f_n$ sur $[0,+\infty[$.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) ---

1) D\'emontrer que la s\'erie de terme g\'en\'eral $\frac{1}{4n^3 - n}$ est convergente.

\vspace{0.1cm}

2) D\'ecomposer la fraction rationnelle $\frac{1}{4\T^3 - \T}$ en \'el\'ements simples.

\vspace{0.1cm}

3) On rappelle que la s\'erie harmonique altern\'ee $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$ converge et a pour somme $- \operatorname{log}(2)$. Calculer la somme de la s\'erie $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{4n^3 - n}$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- 
\vspace{0.1cm} 1)

\vspace{0.1cm} 2)

\cleardoublepage

\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 6 - Mercredi 31 octobre 2007}}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- \noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles d\'efinies et continues sur un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1) Rappeler la d\'efinition de la convergence uniforme pour la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$.

\vspace{0.1cm} 2) On suppose que la s\'erie $\sum_n f_n$ converge uniform\'ement sur $[a,b]$ vers une fonction $f$. Justifier l'existence de $\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d}t$ puis d\'emontrer que c'est la limite de la suite $$\left(\int_{a}^{b} f_n(t) \mathrm{d}t\right).$$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (4 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n$, on d\'efinie une fonction r\'eelle sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x) = \cos\left(\frac{nx}{n+1}\right)$. \'Etudier la convergence de la suite $(f_n)$ sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (6 points) ---
\vspace{0.1cm}
1) \'Ecrire le d\'eveloppement de Taylor \`a l'ordre $n$ en $0$ de la fonction $\operatorname{arctan} (x)$ et expliciter le reste sous forme int\'egrale.

\vspace{0.2cm}
2) D\'emontrer que la s\'erie enti\`ere $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \operatorname{arctan}^{(n)}(0) x^n$$ converge uniform\'ement vers la fonction  $\operatorname{arctan}$ sur tout intervalle born\'e de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.2cm}
3) D\'emontrer l'identit\'e $$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots .$$


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) ---

\vspace{0.1cm}

\vspace{0.1cm}

\cleardoublepage

\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{2cm}


\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 6 - Mercredi 31 octobre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- \'Enoncer et d\'emontrer la r\`egle de comparaison entre une s\'erie et une int\'egrale.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (4 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $]0,1]$ par $$f_n(x) = \frac{n(x^3+x)e^{-x}}{nx+1}.$$  \'Etudier la convergence de la suite de fonctions $(f_n)$ sur $]0,1]$, puis sur $[\delta, 1]$ avec $\delta > 0$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (6 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit des fonctions r\'eelles $f_n$ et $g_n$ sur $[0,1]$ par 
$$ f_n(x) = \frac{1 + \sin x}{x+1/n} , \ \ \textrm{ et } \ \ g_n(x) = \frac{ \sin x}{x+1/n}.$$

\begin{enumerate}
 \item D\'emontrer que la suite de terme g\'en\'eral $\int_{0}^{1} f_n(x) \mathrm{d}x$ tend vers $+\infty$.
 \item D\'eterminer la limite (simple), not\'ee $g$, de la suite de fonctions $(g_n)$.
 \item D\'emontrer que la convergence de $(g_n)$ vers $g$ est uniforme sur $[\varepsilon,1]$ pour tout $\varepsilon >0$.
 \item D\'emontrer que la suite de terme g\'en\'eral $\int_{0}^{1} g_n(x) \mathrm{d}x$ converge vers $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x$. 
 \item Donner un équivalent simple de $\int_{0}^1 f_n(x) \mathrm{d}x$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) ---


\vspace{0.1cm}
\end{document} 