Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 7 - Mercredi 7 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (a_{n}) une suite de nombres complexes.

1) Donner la définition du rayon de convergence R de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}.

2) Démontrer que la fonction

{z ∈ ℂ, |z| < R} → ℂ, z ↦ ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}z^{n}

est dérivable.

Premier exercice (4 points) — Démontrer que la série de terme général \frac{(−1)^{n}}{z−n} converge uniformément sur tout disque fermé contenu dans ℂ − ℕ mais qu’elle ne converge absolument en aucun point de ℂ.

Deuxième exercice (6 points) — Étant donné un entier naturel n ≥ 1, on définit une fonction réelle f_{n} sur ℝ − \{−1,1\} par f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{1−x^{n}} .

1) Démontrer que la série de fonctions ∑_{n}f_{n} converge simplement sur ] − 1,1[.

2) Démontrer que la fonction réelle f, définie sur l’intervalle ] − 1,1[ par

f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} f_{n}(x),

est continuement dérivable. (Indication : étudier la convergence sur un segment contenu dans ] − 1,1[.) 3) Démontrer que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 1 dans ] − 1,1[.

Troisième exercice (6 points) — Soit a_{n} le n-ème coefficient de Taylor de la fonction \sqrt{1 − x} en 0. 1) Établir l’inégalité \sqrt{1 − t} ≤ 1 + ∑ _{n=1}^{N} a_{n}t^{n} pour tout entier naturel N et tout t ∈ [0,1].

2) Démontrer que la série ∑_{n≥0} a_{n}x^{n} est uniformément convergente sur [0,1].

3) Déduire de ce qui précède qu’il existe une suite de polynômes convergeant uniformément vers la fonction t ↦ \sqrt{t}sur [0,1].

4) Déduire de ce qui précède qu’il existe une suite de polynômes convergeant uniformément sur [−1,1] vers la fonction t ↦ |t|. (Indication : |t| = \sqrt{t^{2}}.)

Khôlle 7 - Mercredi 7 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soient (a_{n}), (a′_{n}) deux suites de nombres complexes. On désigne respectivement par R et R′les rayons de convergence des séries entières ∑_{n}a_{n}z^{n} et ∑_{n}a′_{n}z^{n}. Démontrer que le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}(a_{n}+ a′_{n})z^{n} est supérieur ou égal à min(ℝ,ℝ′).

Premier exercice (5 points) — Quel que soit l’entier naturel n, on définit une fonction réelle f_{n} sur le segment I = [0, \frac{π}{2}] par f_{n}(t) = (sint)^{n}.

1) Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (f_{n}).

2) La suite de fonctions (f_{n}) converge-t-elle uniformément sur le segment I ?

3) Démontrer que la suite de terme général

∫0^{\frac{π}{2}}(sint)^{n}dt

converge vers 0. (Indication : étant donné un nombre réel ε > 0, estimer séparément les intégrales sur [0, \frac{π}{2} − ε] et sur [\frac{π}{2} − ε, \frac{π}{2}].)

Deuxième exercice (5 points) — Étant donné un entier naturel n ≥ 1, on définit une fonction réelle f_{n} sur [0,+∞[ par f_{n}(x) = (−1)^{n} \frac{e^{−nx}}{n+x}.

Démontrer que la série de fonctions ∑_{n}f_{n} converge simplement ; on pose f(x) = ∑_{n}f_{n}(x).

Démontrer que la fonction f est continue sur [0,+∞[ et dérivable sur ]0,+∞[.

Troisième exercice (6 points) — Soit (f_{n}) une suite uniformément convergente de fonctions réelles définies et continues sur ℝ. On suppose qu’il existe une fonction positive g sur ℝ telle que :

(i) |f_{n}(t)| ≤ |g(t)| pour tous n ∈ ℕ, t ∈ ℝ;

(ii) l’intégrale impropre

∫_{−∞}^{+∞} g(t)dt

est convergente.

Soit f le limite de la suite (f_{n}). Démontrer que l’intégrale impropre

∫_{−∞}^{+∞} f(t)dt

est convergente puis que l’on a

lim_{n→+∞} ∫_{−∞}^{+∞} f_{n}(t)dt = ∫_{−∞}^{+∞} f(t)dt.

Khôlle 7 - Mercredi 7 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles définies et continues sur un segment [a,b] de ℝ. On suppose que la série de fonctions ∑_{n}f_{n} converge uniformément sur [a,b] vers une fonction g.

Justifier l’intégrabilité de g sur [a,b] puis démontrer que la série

∑_{n} ∫_{a}^{b}f_{n}(t)dt

converge vers ∫_{a}^{b}g(t)dt.

Premier exercice (5 points) — Quel que soit l’entier naturel n, on définit une fonction réelle f_{n} sur ℝ par f_{n}(x) = \frac{arctan(x)}{x^{2}+n^{2}}.

Démontrer que la série de fonctions ∑_{n}f_{n} est uniformément convergente.

Deuxième exercice (5 points) — Soit ∑_{n}a_{n} une série réelle convergente. Démontrer que la série de fonctions ∑_{n}a_{n}x^{n} est uniformément convergente sur tout segment contenu dans [0,1[.

Troisième exercice (6 points) — Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites de nombres réels. Quel que soit l’entier naturel N, on pose

V_{N} = ∑_{n=0}^{N} v_{n}.

1) Étant donnés deux entiers m,n tels que m ≥ n + 1, établir l’identité

∑_{k=n+1}^{m} u_{k}v_{k} = ∑_{k=n+1}^{m} V_{k}(u_{k}− u_{k+1}) + u_{n+1} V_{n}+ u_{m+1}V_{m}.

(Indication : écrire v_{k} sous la forme V_{k}− V_{k−1}.)

Faisons maintenant les hypothèses suivantes :

– la suite (u_{n}) est décroissante et elle converge vers 0 ;

– la suite (V_{n}) est bornée.

2) En utilisant la question précédente, démontrer que la suite (∑ _{k=0}^{N} u_{k}v_{k})_{N∈ℕ} satisfait au critère de Cauchy.

3) Conclure.

Khôlle 7 - Mercredi 7 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles définies sur un intervalle I de ℝ.

1) Donner les définitions de la convergence uniforme et de la convergence normale de la série de fonctions ∑_{n}f_{n}.

2) Démontrer que la convergence normale implique la convergence uniforme.

3) Donner un exemple de série de fonctions uniformément convergente mais non normalement convergente.

Premier exercice (6 points) —

1) Démontrer que la série

∑_{n≥0}(−1)^{n}x^{2n}

est uniformément convergente sur [0,1] et déterminer sa somme.

2) Démontrer l’identité

\frac{π}{4} = ∑_{n=0}^{+∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n + 1} .

(Indication : \frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1+x^{2}} .)

Deuxième exercice (5 points) — Soit (f_{n}) une suite de fonctions réelles définies sur ]0,1]. On suppose que cette suite converge simplement vers une fonction f sur ]0,1] et que la convergence est uniforme sur tout segment contenu dans ]0,1].

Si la suite (f_{n}) ne converge pas uniformément vers f sur ]0,1], démontrer qu’il existe une suite (x_{n}) de points de ]0,1] tendant vers 0 et tels que |f(x_{n}) − f_{n}(x_{n})| ne tende pas vers 0.

Troisième exercice (5 points) — Étant donné un entier naturel n ≥ 1, on définit une fonction complexe f_{n} sur ℂ par f_{n}(z) = \frac{e^{nz}}{n}.

1) Déterminer l’ensemble des z ∈ ℂ en lesquels la série de fonctions ∑_{n}f_{n} converge simplement.

2) Soit ε un nombre réel strictement positif. Démontrer que la série de fonctions ∑_{n}f_{n} converge uniformément sur le sous-ensemble {z ∈ ℂ | ℜ(z) ≤ 0, |z| ≥ ε} de ℂ.