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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 7 - Mercredi 7 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes.

\vspace{0.1cm} 1) Donner la d\'efinition du rayon de convergence $\mathrm{R}$ de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la fonction $$\{z \in \mathbb{C}, \  |z | < \mathrm{R}\} \rightarrow \mathbb{C}, \ z \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$$ est d\'erivable.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (4 points) --- D\'emontrer que la s\'erie de terme g\'en\'eral $\frac{(-1)^n}{z-n}$ converge uniform\'ement sur tout disque ferm\'e contenu dans $\mathbb{C} - \mathbb{N}$ mais qu'elle ne converge absolument en aucun point de $\mathbb{C}$.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (6 points) --- \'Etant donn\'e un entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $\mathbb{R} - \{-1,1\}$ par $f_n(x)=\frac{x^n}{1- x^n}$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$ converge simplement sur $]-1,1[$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la fonction r\'eelle $f$, d\'efinie sur l'intervalle $]-1,1[$ par $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x),$$ est continuement d\'erivable. (\emph{Indication : \'etudier la convergence sur un segment contenu dans $]-1,1[$}.)

\vspace{0.1cm} 3) D\'emontrer que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $1$ dans $]-1,1[$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- Soit $a_n$ le $n$-\`eme coefficient de Taylor de la fonction $\sqrt{1-x}$ en $0$.

\vspace{0.1cm} 1) \'Etablir l'in\'egalit\'e $\sqrt{1-t} \leq 1 + \sum_{n=1}^{\N} a_n t^n$ pour tout entier naturel $\N$ et tout $t \in [0,1]$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n \geq 0} a_n x^n$ est uniform\'ement convergente sur $[0,1]$.

\vspace{0.1cm} 3) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe une suite de polyn\^omes convergeant uniform\'ement vers la fonction $t \mapsto \sqrt{t}$ sur $[0,1]$.

\vspace{0.1cm} 4) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe une suite de polyn\^omes convergeant uniform\'ement sur $[-1,1]$ vers la fonction $t \mapsto |t|$. (\emph{Indication : $|t| = \sqrt{t^2}$}.)


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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 7 - Mercredi 7 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soient $(a_n)$, $(a'_n)$ deux suites de nombres complexes. On d\'esigne respectivement par $\mathrm{R}$ et $\mathrm{R}'$ les rayons de convergence des s\'eries enti\`eres $\sum_n a_n z^n$ et $\sum_n a_n' z^n$. D\'emontrer que le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n (a_n + a_n')z^n$ est sup\'erieur ou \'egal \`a $\mathrm{min}(\R,\R')$.  

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur le segment $\Ir = \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ par $f_n(t) = (\sin t)^n$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'eterminer la limite simple de la suite de fonctions $(f_n)$.

\vspace{0.1cm} 2) La suite de fonctions $(f_n)$ converge-t-elle uniform\'ement sur le segment $\Ir$?

\vspace{0.1cm} 3) D\'emontrer que la suite de terme g\'en\'eral $$\int_0^\frac{\pi}{2} (\operatorname{sin} t)^n \mathrm{d}t$$ converge vers $0$. (\emph{Indication : \'etant donn\'e un nombre r\'eel $\varepsilon >0$, estimer s\'epar\'ement les int\'egrales sur $[0, \frac{\pi}{2} - \varepsilon]$ et sur $[\frac{\pi}{2} - \varepsilon, \frac{\pi}{2}]$.})

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- \'Etant donn\'e un entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $[0,+\infty[$ par $f_n(x) = (-1)^n \frac{e^{-nx}}{n+x}$.

\vspace{0.1cm} D\'emontrer que la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$ converge simplement ; on pose $f(x) = \sum_n f_n(x)$.

\vspace{0.1cm} D\'emontrer que la fonction $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ et d\'erivable sur $]0,+\infty[$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- Soit $(f_n)$ une suite uniform\'ement convergente de fonctions r\'eelles d\'efinies et continues sur $\mathbb{R}$. On suppose qu'il existe une fonction positive $g$ sur $\mathbb{R}$ telle que : \\
\indent (i) $|f_n(t)| \leq |g(t)|$ pour tous $n \in \mathbb{N}$, $t \in \mathbb{R}$ ; \\
\indent (ii) l'int\'egrale impropre $$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$$ est convergente.

Soit $f$ le limite de la suite $(f_n)$. D\'emontrer que l'int\'egrale impropre $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$$ est convergente puis que l'on a
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t.$$


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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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{\bfseries {\scshape Kh\^olle 7 - Mercredi 7 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles d\'efinies et continues sur un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$. On suppose que la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$ converge uniform\'ement sur $[a,b]$ vers une fonction $g$.

Justifier l'int\'egrabilit\'e de $g$ sur $[a,b]$ puis d\'emontrer que la s\'erie $$\sum_n \int_a^b f_n(t) \mathrm{d}t$$ converge vers $\int_a^b g(t) \mathrm{d}t$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- Quel que soit l'entier naturel $n$, on d\'efinit une fonction r\'eelle $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x) = \frac{\arctan(x)}{x^2 + n^2}$.

\vspace{0.1cm} D\'emontrer que la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$ est uniform\'ement convergente.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- Soit $\sum_n a_n$ une s\'erie r\'eelle convergente.
D\'emontrer que la s\'erie de fonctions $\sum_n a_n x^n$ est uniform\'ement convergente sur tout segment contenu dans $[0,1[$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres r\'eels. Quel que soit l'entier naturel $\N$, on pose $$\V_{\N} = \sum_{n=0}^{\N} v_n.$$

\vspace{0.1cm} 1) \'Etant donn\'es deux entiers $m, n$ tels que $m \geq n+1$, \'etablir l'identit\'e $$\sum_{k=n+1}^{m} u_k v_k = \sum_{k=n+1}^{m} \V_k (u_k - u_{k+1}) + u_{n+1}\V_n + u_{m+1}\V_m.$$ (\emph{Indication : \'ecrire $v_k$ sous la forme $\V_k - \V_{k-1}$}.)

\vspace{0.2cm} Faisons maintenant les hypoth\`eses suivantes :
\begin{itemize}
\item la suite $(u_n)$ est d\'ecroissante et elle converge vers $0$ ;
\item la suite $(\V_n)$ est born\'ee.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} 2) En utilisant la question pr\'ec\'edente, d\'emontrer que la suite $\left(\sum_{k=0}^{\N} u_k v_k \right)_{\N \in \mathbb{N}}$ satisfait au crit\`ere de Cauchy.

\vspace{0.1cm} 3) Conclure.


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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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{\bfseries {\scshape Kh\^olle 7 - Mercredi 7 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles d\'efinies sur un intervalle $\Ir$ de $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1) Donner les d\'efinitions de la convergence uniforme et de la convergence normale de la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que la convergence normale implique la convergence uniforme.

\vspace{0.1cm} 3) Donner un exemple de s\'erie de fonctions uniform\'ement convergente mais non normalement convergente.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (6 points) --- 

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que la s\'erie $$\sum_{n \geq 0} (-1)^n x^{2n}$$ est uniform\'ement convergente sur $[0,1]$ et d\'eterminer sa somme.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer l'identit\'e $$\frac{\pi}{4} = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}.$$ (\emph{Indication : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arctan}(x) = \frac{1}{1+x^2}.$})

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- Soit $(f_n)$ une suite de fonctions r\'eelles d\'efinies sur $]0, 1]$. On suppose que cette suite converge simplement vers une fonction $f$ sur $]0,1]$ et que la convergence est uniforme sur tout segment contenu dans $]0,1]$.

Si la suite $(f_n)$ ne converge pas uniform\'ement vers $f$ sur $]0,1]$, d\'emontrer qu'il existe une suite $(x_n)$ de points de $]0,1]$ tendant vers $0$ et tels que $|f(x_n) - f_n(x_n)|$ ne tende pas vers $0$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) --- \'Etant donn\'e un entier naturel $n \geq 1$, on d\'efinit une fonction complexe $f_n$ sur $\mathbb{C}$ par $f_n(z)=\frac{\mathrm{e}^{nz}}{n}$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'eterminer l'ensemble des $z \in \mathbb{C}$ en lesquels la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$ converge simplement.

\vspace{0.1cm} 2) Soit $\varepsilon$ un nombre r\'eel strictement positif. D\'emontrer que la s\'erie de fonctions $\sum_n f_n$ converge uniform\'ement sur le sous-ensemble $\{z \in \mathbb{C} \ | \ \mathfrak{R}(z) \leq 0, \ |z| \geq \varepsilon \}$ de $\mathbb{C}$.

\newpage
\end{document} 