Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 7bis - Mercredi 21 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit (a_{n}) une suite de nombres complexes.

1. Donner la définition du rayon de convergence R de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}.

2. On suppose R > 0. Démontrer que la somme de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n} est une fonction indéfiniment dérivable sur le disque ouvert D(0,R) = {z ∈ ℂ | |z| < R}.

Premier exercice (5 points) — Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} sin(\frac{π}{n})z^{n}  ∑_{n} \frac{n}{2^{3n+1}} z^{2n}

Deuxième exercice (4 points) — Soit (a_{n})_{n≥0} une suite réelle qui converge vers 0 et telle que la série ∑_{n}a_{n} diverge. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}.

Troisième exercice (6 points) — On considère la série entière ∑_{n≥2} \frac{x^{n}}{(n−1)n}.

1. Quel est son rayon de convergence R? En tout point x où la série converge, on pose f(x) = ∑ _{n=2}^{∞} \frac{x^{n}}{(n−1)n}.

2. Montrer que la convergence est normale sur [−R,R].

3. Montrer que f est dérivable sur ] − R,R[ et calculer sa dérivée.

4. En déduire une expression simple de f, puis la valeur de la somme suivante :

∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n − 1)n} .