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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 7bis - Mercredi 21 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. Donner la d\'efinition du rayon de convergence $\mathrm{R}$ de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$.

\vspace{0.1cm} \noindent 2. On suppose $\mathrm{R} >0$. D\'emontrer que la somme de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$ est une fonction ind\'efiniment d\'erivable sur le disque ouvert $\D(0,\mathrm{R}) = \{z \in \mathbb{C} \ | \ |z| < \mathrm{R}\}.$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

$\ds\sum_n \sin(\frac{\pi}{n}) z^n$\hfill $\ds\sum_n \frac{n}{2^{3n+1}}z^{2n}$\hfill\vide

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (4 points) --- Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite r\'eelle qui converge vers 0 et telle que la s\'erie $\sum_n a_n$ diverge. D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (6 points) --- On consid\`ere la s\'erie enti\`ere $\sum_{n\geq 2} \frac{x^n}{(n-1)n}$. 

\begin{enumerate}
	\item Quel est son rayon de convergence $R$ ? En tout point $x$ o\`u la s\'erie converge, on pose $f(x)=\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{(n-1)n}$. 
	\item Montrer que la convergence est normale sur $[-R,R]$. 
	\item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $]-R,R[$ et calculer sa d\'eriv\'ee. 
	\item En d\'eduire une expression simple de $f$, puis la valeur de la somme suivante : $$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{(n-1)n}.$$
\end{enumerate}


\end{document}