Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 8 - Mercredi 14 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Donner la définition de l’exponentielle complexe exp, la justifier (préciser le domaine de définition), et démontrer que, pour tous z_{1},z_{2} ∈ ℂ,

exp(z_{1})exp(z_{2}) = exp(z_{1}+ z_{2}).

Premier exercice (6 points) — Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} ln(n)z^{n}  ∑_{n} \frac{n}{2^{3n+1}} z^{2n}

∑_{n}a_{n}z^{n}, où (a_{n})_{n≥0} est une suite périodique non identiquement nulle.

Deuxième exercice (4 points) — Soit (a_{n})_{n≥0} une suite réelle décroissante qui converge vers 0 et telle que ∑_{n}a_{n} diverge. Déterminer le rayon de convergence de ∑_{n}a_{n}z^{n}.

Troisième exercice (5 points) — On considére la série entière ∑_{n≥2} \frac{x^{n}}{(n−1)n}.

1. Quel est son rayon de convergence R? En tout point x où la série converge, on pose f(x) = ∑ _{n=2}^{∞} \frac{x^{n}}{(n−1)n}.

2. Montrer que la convergence est normale sur [−R,R].

3. Montrer que f est dérivable sur ] − R,R[ et calculer sa dérivée.

4. En déduire une expression simple de f, puis la valeur de la somme suivante :

∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n − 1)n} .

Khôlle 8 - Mercredi 14 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit I un intervalle de ℝ contenant 0 et soit f une fonction réelle définie sur ℝ. On suppose que f est indéfiniment dérivable sur I et qu’il existe une constante M > 0 telle que, pour tout x ∈ I, pour tout n ∈ N,

|f^{(n)}(x)| ≤ M.

Montrer que f est développable en série entière sur I. Donner des exemples d’application de cette propriété.

Premier exercice (6 points) — Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} \frac{1}{(1 + \sqrt{n})^{n}} z^{n}  ∑_{n} ( cos \frac{1}{n}) ^{n^{a}}z^{n} où a ∈ ℝ

∑_{n} e^{E(n\sqrt{2})}z^{n}, où E(x) est la partie entière du nombre réel x.

Deuxième exercice (9 points) — Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de réels. On suppose que la série entière ∑_{n}a_{n}x^{n} a

un rayon de convergence égal à 1 et, pour x ∈] − 1,1[, on note f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

1) On suppose que la série ∑_{n}a_{n} converge et on pose R_{n} = ∑ _{k=n}^{∞} a_{k} (reste d’ordre n).

(i) En observant que a_{n} = R_{n}− R_{n+1} , établir l’identité

∑_{n=N}^{N+p} a_{n}x^{n} = ∑_{n=N+1}^{N+p} R_{n}(x^{n}− x^{n−1} ) + R_{N}x^{N}− R_{N+p+1} x^{N+p}

pour tous x ∈ [0,1],N,p ∈ ℕ.

(ii) Déduire de ce qui précède la majoration

| ∑_{n=N}^{N+p} a_{n}x^{n}|≤ 3 sup_{n≥N}|R_{N}|

pour tous x ∈ [0,1], N ∈ ℕ.

(iii) En appliquant le critère de Cauchy, montrer que la série de fonctions ∑_{n}a_{n}z^{n} est uniformément convergente sur [0,1] et en conclure que : f(x) −→_{x→1^{−}} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}.

2) On suppose que la série ∑_{n}a_{n} diverge et, pour tout n ≥ 0, a_{n} ≥ 0. Montrer que : f(x) −→_{x→1^{−}} +∞.

Khôlle 8 - Mercredi 14 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit I un intervalle de ℝ contenant 0 et soit f une fonction de I dans ℝ. On suppose que f est développable en série entière. Rappeler ce que ceci signifie puis donner, en la démontrant, l’expression des coefficients de ce développement.

Premier exercice (6 points) — Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} sin( \frac{lnn}{2^{n}− n} ) z^{n}  ∑_{n} n!z^{n^{2}}

∑_{n} a_{n}z^{n} où (a_{n})_{n} est une suite complexe admettant une limite ℓ ≠ 0.

Deuxième exercice (4 points) — Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de nombres complexes. On note R le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}. On suppose R > 0. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} a_{n}z^{pn} où p ∈ N^{∗}  ∑_{n} \frac{a_{n}}{n!}z^{n}.

Troisième exercice (5 points) — Soient (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥0} des suites complexes. On note R_{a} le rayon de convergence de ∑_{n}a_{n}z^{n} et R_{b} celui de ∑_{n}b_{n}z^{n}.

Pour tout n, on note c_{n}= a_{n}b_{n}. Montrer que le rayon de convergence R_{c} de la série entière ∑_{n}c_{n}z^{n} vérifie :

R_{c} ≥ R_{a}R_{b}.

Montrer par des exemples qu’il peut y avoir égalité ou non.