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\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 8 - Mercredi 14 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Donner la d\'efinition de l'exponentielle complexe $\exp$, la justifier (pr\'eciser le domaine de d\'efinition), et d\'emontrer que, pour tous $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, $$\exp(z_1)\exp(z_2)=\exp(z_1+z_2).$$


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (6 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

$\ds\sum_n \ln(n) z^n$\hfill $\ds\sum_n \frac{n}{2^{3n+1}}z^{2n}$\hfill\vide

$\sum_n a_n z^n$, o\`u $(a_n)_{n\geq0}$ est une suite p\'eriodique non identiquement nulle.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (4 points) --- Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite r\'eelle d\'ecroissante qui converge vers 0 et telle que $\sum_n a_n$ diverge. D\'eterminer le rayon de convergence de $\sum_n a_n z^n$. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) --- On consid\'ere la s\'erie enti\`ere $\sum_{n\geq 2} \frac{x^n}{(n-1)n}$. 

\begin{enumerate}
	\item Quel est son rayon de convergence $R$ ? En tout point $x$ o\`u la s\'erie converge, on pose $f(x)=\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{(n-1)n}$. 
	\item Montrer que la convergence est normale sur $[-R,R]$. 
	\item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $]-R,R[$ et calculer sa d\'eriv\'ee. 
	\item En d\'eduire une expression simple de $f$, puis la valeur de la somme suivante : $$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{(n-1)n}.$$
\end{enumerate}

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 8 - Mercredi 14 novembre 2007}}
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\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $I$ un intervalle de $\R$ contenant $0$ et soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $\R$. On suppose que $f$ est ind\'efiniment d\'erivable sur $I$ et qu'il existe une constante $M>0$ telle que, pour tout $x\in I$, pour tout $n\in\N$, 
$$|f^{(n)}(x)|\leq M.$$
Montrer que $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $I$. Donner des exemples d'application de cette propri\'et\'e. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (6 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

\vide\hfill$\ds\sum_n\frac{1}{(1+\sqrt{n})^n} z^n$ \hfill $\ds\sum_n \left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^a} z^n$ o\`u $a\in\R$\hfill\vide

$\ds\sum_n e^{\mathrm{E}(n\sqrt{2})}z^n$, o\`u $\E(x)$  est la partie enti\`ere du nombre r\'eel $x$. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (9 points) --- Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de r\'eels. On suppose que la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n x^n$ a un rayon de convergence \'egal \`a 1 et, pour $x\in]-1,1[$, on note $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$. 


\noindent 1) On suppose que la s\'erie $\sum_n a_n$ converge et on pose $R_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} a_k$ (reste d'ordre $n$). 

\indent (i) En observant que $a_n = R_n - R_{n+1}$, \'etablir l'identit\'e $$\sum_{n=N}^{N+p} a_n x^n = \sum_{n=N+1}^{N+p} R_n(x^n-x^{n-1}) + R_Nx^N - R_{N+p+1}x^{N+p}$$ pour tous $x \in [0,1], N,p \in \mathbb{N}$. 

\indent (ii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede la majoration $$\left|\sum_{n=N}^{N+p}a_nx^n\right| \leq 3 \sup_{n \geq N} |R_{N}|$$ pour tous $x \in [0,1], \ N \in \mathbb{N}$.

\indent (iii) En appliquant le crit\`ere de Cauchy, montrer que la s\'erie de fonctions $\sum_{n} a_n z^n$ est uniform\'ement convergente sur $[0,1]$ et en conclure que : $f(x)\limite{x\to1^-}\sum\limits_{n=0}^\infty a_n.$
 
\vspace{0.1cm}
\noindent 2) On suppose que la s\'erie $\sum_n a_n$ diverge et, pour tout $n\geq0$, $a_n\geq 0$. Montrer que : $f(x)\limite{x\to1^-}+\infty.$

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\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
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{\bfseries {\scshape Kh\^olle 8 - Mercredi 14 novembre 2007}}
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\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $I$ un intervalle de $\R$ contenant $0$ et soit $f$ une fonction de $I$ dans $\R$. On suppose que $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere. Rappeler ce que ceci signifie puis donner, en la d\'emontrant, l'expression des coefficients de ce d\'eveloppement. 


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (6 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

$\ds\sum_n \sin\left(\frac{\ln n}{2^n-n}\right)z^n$ \hfill $\ds\sum_n n!z^{n^2}$\hfill \vide

$\ds\sum_n a_n z^n$ o\`u $(a_n)_n$ est une suite complexe admettant une limite $\ell\neq 0$. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (4 points) ---
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres complexes. On note $R$ le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$. On suppose $R>0$. D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

\vide\hfill$\ds\sum_n a_n z^{pn}$ o\`u $p\in\N^*$\hfill $\ds\sum_n \frac{a_n}{n!} z^n$. \hfill\vide

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) --- Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ des suites complexes. On note $R_a$ le rayon de convergence de $\sum_n a_n z^n$ et $R_b$ celui de $\sum_n b_n z^n$. 

Pour tout $n$, on note $c_n=a_n b_n$. Montrer que le rayon de convergence $R_c$ de la s\'erie enti\`ere $\sum_n c_n z^n$ v\'erifie : $$R_c\geq R_a R_b.$$ Montrer par des exemples qu'il peut y avoir \'egalit\'e ou non.

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\end{document}