Math III-Analyse - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Khôlle 9 - Mercredi 21 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Donner la définition de l’exponentielle complexe exp, la justifier (préciser le domaine de définition), et démontrer que, pour tous z_{1},z_{2} ∈ ℂ,

exp(z_{1})exp(z_{2}) = exp(z_{1}+ z_{2}).

Premier exercice (5 points) — Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_{n} \frac{1}{2n+1} x^{n} et calculer sa somme aux points de ℝ_{≥0} appartenant à son disque de convergence. (Indication : calculer d’abord la somme de la série entière ∑_{n} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} .

Deuxième exercice (5 points) — On considère la suite (a_{n})_{n≥0} définie par récurrence à partir de a_{0} ∈ ℝ_{≥0} par

a_{n+1} = log(1 + a_{n}).

1. Démontrer que la suite (a_{n}) est décroissante et en déduire qu’elle converge vers un nombre réel ℓ que l’on déterminera.

2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}a_{n}x^{n} (Indication : on pourra commencer par prouver a_{n+1} ∼ a_{n} lorsque n tend vers l’infini.)

Troisième exercice (5 points) — On considère l’équation différentielle

(1 + x^{2})y′′+ 2xy′− 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1

et on cherche ses solutions développables en série entière au voisinage de 0.

On suppose qu’il existe une solution y de cette équation telle que y(x) = ∑_{n}a_{n}x^{n} sur un intervalle ouvert contenant 0, où (a_{n}) est une suite de nombres réels.

1. Montrer que a_{0} = a_{1} = a_{2}, a_{3} = 0 et (n + 1)a_{n+2} + (n − 1)a_{n} = 0 pour tout n ≥ 2.

2. Montrer que, pour tout p ≥ 1,

a_{2p} = \frac{(−1)^{p+1}}{2p − 1} .

3. Déterminer le rayon de convergence de la série ∑_{n}a_{n}x^{n}.

4. Que peut-on conclure de ce qui précède quant aux solutions de l’équation différentielle considérée ?

Khôlle 9 - Mercredi 21 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit I un intervalle de ℝ contenant 0 et soit f une fonction réelle définie sur ℝ. On suppose que f est indéfiniment dérivable sur I et qu’il existe une constante M > 0 telle que, pour tout x ∈ I, pour tout n ∈ N,

|f^{(n)}(x)| ≤ M.

Montrer que f est développable en série entière sur I. Donner deux exemples d’application de cette propriété.

Premier exercice (5 points) — Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}n^{2}x^{n} et calculer sa somme. (Indication : pour le calcul de la somme, écrire n^{2} sous la forme n(n − 1) + n.)

Deuxième exercice (5 points) — Étant donné un entier naturel n, on désigne par a_{n} le nombre de couples (x,y) ∈ ℕ^{2} tels que 3x + 5y = n. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n}.

(Indication : calculer la série entière produit de ∑_{n}x^{3n} et ∑_{n}x^{5n}.)

Troisième exercice (5 points) — On considère l’équation différentielle

4x(1 − x)y′′+ 2(1 − 3x)y′− 2y = 0

et on cherche ses solutions développables en série entière au voisinage de 0.

On suppose qu’il existe une solution y telle que y(x) = ∑_{n}a_{n}x^{n} sur un intervalle ouvert contenant 0, où (a_{n}) est une suite de nombres réels.

1. Montrer que, pour tout n ≥ 0, (2n^{2}+ 3n + 1)a_{n+} = (2n^{2}+ n + 1)a_{n}.

2. Quel est le rayon de convergence de ∑_{n}a_{n}x^{n}?

3. Que peut-on conclure de ce qui précède quant aux solutions de l’équation différentielle considérée ?

Khôlle 9 - Mercredi 21 novembre 2007

Question de cours (5 points) — Soit Ir un intervalle de ℝ contenant 0 et soit f une fonction de I dans ℝ. On suppose que f est développable en série entière. Rappeler ce que ceci signifie puis donner, en la démontrant, l’expression des coefficients de ce développement.

Premier exercice (5 points) — Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière ∑_{n≥1} \frac{cosh(n)}{n}x^{n}.

Deuxième exercice (5 points) — Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de nombres complexes. Quel que soit n ∈ ℕ, on pose S_{n} = ∑ _{k=0}^{n} a_{k}.

Soit R le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}a_{n}z^{n} et soit R′celui de la série entière ∑_{n}S_{n}z^{n}.

1. Démontrer que R ≥ R′.

2. Supposons R ≤ 1. Démontrer que l’on a alors R′= R et

\frac{1}{1 − z} ∑_{n} a_{n}z^{n} = ∑_{n} S_{n}z^{n}

pour tout z ∈ ℂ tel que |z| < R.

Troisième exercice (5 points) — On considère l’équation différentielle

x^{2}(1 − x)y′′− x(1 + x)y′+ y = 0

et on cherche ses solutions développables en série entière au voisinage de 0.

Supposons que y soit une solution telle que y(x) = ∑_{n}a_{n}x^{n} sur un intervalle ouvert contenant 0, où (a_{n}) est une suite de nombres réels.

1. Montrer que a_{0} = 0 et, pour tout n ≥ 2, a_{n} = a_{n−1} .

2. En déduire une formule explicite pour a_{n} et déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_{n}a_{n}x^{n}.

3. Que peut-on conclure de ce qui précède quant aux solutions de l’équation différentielle considérée ?