\documentclass[11pt, francais]{article}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-20mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-30mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm} \addtolength{\textheight}{50mm}


\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Q}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Nb}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Qb}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\limite}[1]{\underset{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\vide}{\rule{0pt}{0pt}}

\begin{document}
\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 9 - Mercredi 21 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Donner la d\'efinition de l'exponentielle complexe $\exp$, la justifier (pr\'eciser le domaine de d\'efinition), et d\'emontrer que, pour tous $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, $$\exp(z_1)\exp(z_2)=\exp(z_1+z_2).$$


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n \frac{1}{2n+1}x^n$ et calculer sa somme aux points de $\mathbb{R}_{\geq 0}$ appartenant \`a son disque de convergence. (\emph{Indication : calculer d'abord la somme de la s\'erie enti\`ere $\sum_{n}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}$.}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- On consid\`ere la suite $(a_n)_{n \geq 0}$ d\'efinie par r\'ecurrence \`a partir de $a_0 \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ par $$a_{n+1} = \mathrm{log}(1+a_n).$$

\noindent 1. D\'emontrer que la suite $(a_n)$ est d\'ecroissante et en d\'eduire qu'elle converge vers un nombre r\'eel $\ell$ que l'on d\'eterminera.

\noindent 2. D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_{n} a_n x^n$ (\emph{Indication : on pourra commencer par prouver $a_{n+1} \sim a_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini}.)

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) --- On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $$(1+x^2)y'' + 2xy' - 2y = 0, \ \ y(0)=1, \ y'(0)=1$$ et on cherche ses solutions d\'eveloppables en s\'erie enti\`ere au voisinage de $0$.

On suppose qu'il existe une solution $y$ de cette \'equation telle que $y(x) = \sum_n a_n x^n$ sur un intervalle ouvert contenant $0$, o\`u $(a_n)$ est une suite de nombres r\'eels.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. Montrer que $a_0 = a_1 = a_2$, $a_3=0$ et $(n+1)a_{n+2} + (n-1)a_n = 0$ pour tout $n \geq 2$.

\noindent 2. Montrer que, pour tout $p \geq 1$, $$a_{2p} = \frac{(-1)^{p+1}}{2p-1}.$$

\noindent 3. D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie $\sum_n a_n x^n$.

\noindent 4. Que peut-on conclure de ce qui pr\'ec\`ede quant aux solutions de l'\'equation diff\'erentielle consid\'er\'ee?
\cleardoublepage


\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 9 - Mercredi 21 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $\Ir$ un intervalle de $\R$ contenant $0$ et soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $\R$. On suppose que $f$ est ind\'efiniment d\'erivable sur $I$ et qu'il existe une constante $\M>0$ telle que, pour tout $x\in I$, pour tout $n\in\N$, 
$$|f^{(n)}(x)|\leq \M.$$
Montrer que $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $\Ir$. Donner deux exemples d'application de cette propri\'et\'e. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n n^2 x^n$ et calculer sa somme. (\emph{Indication : pour le calcul de la somme, \'ecrire $n^2$ sous la forme $n(n-1) + n$.})

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) --- \'Etant donn\'e un entier naturel $n$, on d\'esigne par $a_n$ le nombre de couples $(x,y) \in \mathbb{N}^2$ tels que $3x+5y=n$. Calculer le rayon de convergence et la somme de la s\'erie enti\`ere $\sum_{n} a_n z^n$.

(\emph{Indication : calculer la s\'erie enti\`ere produit de $\sum_n x^{3n}$ et $\sum_n x^{5n}$.})

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) --- On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $$4x(1-x)y''+2(1-3x)y'-2y = 0$$ et on cherche ses solutions d\'eveloppables en s\'erie enti\`ere au voisinage de $0$. 

On suppose qu'il existe une solution $y$ telle que $y(x)=\sum_n a_n x^n$ sur un intervalle ouvert contenant $0$, o\`u $(a_n)$ est une suite de nombres r\'eels.
 
\vspace{0.1cm} \noindent 1. Montrer que, pour tout $n \geq 0$, $(2n^2+3n+1)a_{n+} = (2n^2+n+1)a_n.$

\vspace{0.1cm} \noindent 2. Quel est le rayon de convergence de $\sum_n a_n x^n$?

\vspace{0.1cm} \noindent 3. Que peut-on conclure de ce qui pr\'ec\`ede quant aux solutions de l'\'equation diff\'erentielle consid\'er\'ee?


\cleardoublepage

\noindent \textbf{Math III-Analyse - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule


\vspace{2cm}

\begin{center}
{\bfseries {\scshape Kh\^olle 9 - Mercredi 21 novembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Question de cours} (5 points) --- Soit $Ir$ un intervalle de $\R$ contenant $0$ et soit $f$ une fonction de $I$ dans $\R$. On suppose que $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere. Rappeler ce que ceci signifie puis donner, en la d\'emontrant, l'expression des coefficients de ce d\'eveloppement. 


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Premier exercice} (5 points) --- D\'eterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la s\'erie enti\`ere $\sum_{n \geq 1} \frac{\operatorname{cosh}(n)}{n} x^n$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme exercice} (5 points) ---
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres complexes. Quel que soit $n \in \mathbb{N}$, on pose $S_n = \sum_{k=0}^n a_k.$

Soit $\mathrm{R}$ le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$ et soit $\mathrm{R}'$ celui de la s\'erie enti\`ere $\sum_n S_n z^n$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. D\'emontrer que $\mathrm{R} \geq \mathrm{R}'$.

\noindent 2. Supposons $\mathrm{R} \leq 1$. D\'emontrer que l'on a alors $\mathrm{R}'=\mathrm{R}$ et
$$\frac{1}{1-z}\sum_n a_n z^n = \sum_n S_n z^n$$ pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < \mathrm{R}$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme exercice} (5 points) --- On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $$x^2(1-x)y''-x(1+x)y'+y = 0$$ et on cherche ses solutions d\'eveloppables en s\'erie enti\`ere au voisinage de $0$. 

Supposons que $y$ soit une solution telle que $y(x) = \sum_n a_n x^n$ sur un intervalle ouvert contenant $0$, o\`u $(a_n)$ est une suite de nombres r\'eels.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. Montrer que $a_0 = 0$ et, pour tout $n \geq 2$, $a_n = a_{n-1}$.

\noindent 2. En d\'eduire une formule explicite pour $a_n$ et d\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n x^n$.

\noindent 3. Que peut-on conclure de ce qui pr\'ec\`ede quant aux solutions de l'\'equation diff\'erentielle consid\'er\'ee?

\cleardoublepage

\end{document}