Khôlle du 28 novembre 2007

Sujet A

Question de cours. Énoncez l’égalité de Parseval (en précisant bien les hypothèses à vérifier).

Exercice 1. Déterminez le domaine de convergence de la série entière ∑_{n=2}^{∞} \frac{n}{n^{2} − 1}z^{n}. Calculez ensuite la valeur de sa somme.

Exercice 2. Donnez le développement en série entière de la fonction f(z) = \frac{1}{(z − 2)^{2}} .

Exercice 3. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1, 1[ par

f(x) = \frac{arcsin x}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

1. Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire.

2. En déduire le développement en série entière de f.

3. Déterminer le développememnt en série entière de la fonction g définie par g(x) = (arcsin x)^{2}.

Khôlle du 28 novembre 2007

Sujet B

Question de cours. Soit f : R → R une fonction 2π-périodique. Dans quel(s) cas peut-on dire qu’une fonction est égale à sa série de Fourier ?

Exercice 1. Donnez le domaine de convergence et la somme de la série entière suivante

∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n(n + 1)}.

Exercice 2. Vrai ou faux ? On donnera pour chaque énoncé une démonstration ou bien un contreexemple

(a) Les séries entières ∑ a_{n}z^{n} et ∑(−1)^{n}a_{n}z^{n} ont même rayon de convergence.

(b) Les séries entières ∑ a_{n}z^{n} et ∑(−1)^{n}a_{n}z^{n} ont même domaine de convergence.

(c) Une série entière dont le rayon de convergence est +∞ converge uniformément sur C.

Exercice 3. Donnez le développement en série entière de la fonction f(x) = \frac{x}{1 − x − x^{2}} en utilisant

la relation x = (1 − x − x^{2})f(x).

Exercice 4. Soit (a_{n}) la suite définie par récurrence par a_{0} = a_{1} = a_{2} = 1, et

∀n ⩾ 2, a_{n+1} = a_{n} − \frac{a_{n−2}}{2(n + 1)}.

1. Montrer que la suite (a_{n}) est décroissante et que la suite (na_{n}) est croissante. En déduire le rayon de convergence R de la série entière ∑ a_{n}x^{n}.

2. Soit f(x) la somme de cette série pour x ∈] − R, R[. Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire, et en déduire f.

Khôlle du 28 novembre 2007

Sujet C

Question de cours. Enoncer l’inégalité de Bessel (en précisant bien les hypothèses à vérifier) Exercice 1. Calculez la somme de la série entière de terme général u_{n}(x) = \frac{x^{n}}{n} cos \frac{2πn}{3}. Exercice 2. Donnez le développement en série entière de la fonction x ↦ ln(1 + x + x^{2}). Exercice 3. On suppose que les séries entières ∑ a_{2n}z^{n} et ∑ a_{2n+1}z^{n} ont pour rayons de convergence

respectifs R et R′. Déterminez le rayon de convergence de la série entière ∑ a_{n}z^{n}.