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\newcommand{\exercice}{\medskip\par\noindent\stepcounter{numeroexo}
	\hspace{-.25cm}{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo}}}\quad}

\begin{document}

\begin{center} 
Khôlle du 28 novembre 2007 \\
\Huge Sujet A \end{center}
\bigskip\bigskip

{\bf Question de cours.}
\'Enoncez l'égalité de Parseval (en précisant bien les hypothèses à vérifier).

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 1.}
Déterminez le domaine de convergence de la série entière $\disp \sum_{n=2}^{\iy} \frac{n}{n^2-1} z^n$. \\ 
Calculez ensuite la valeur de sa somme.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.}
Donnez le développement en série entière de la fonction $\disp f(z) = \frac{1}{(z-2)^2}$.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1,1[$ par 
\[ f(x) = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}. \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle linéaire.
\item En déduire le développement en série entière de $f$.
\item Déterminer le développememnt en série entière de la fonction $g$ définie par
\[ g(x) = (\arcsin x)^2 . \]
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\begin{center} 
Khôlle du 28 novembre 2007 \\
\Huge Sujet B \end{center}
\bigskip\bigskip

{\bf Question de cours.}
Soit $f : \R \to \R$ une fonction $2\pi$-périodique.
Dans quel(s) cas peut-on dire qu'une fonction est égale à sa série de Fourier ?

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 1.}
Donnez le domaine de convergence et la somme de la série entière suivante
\[ \sum_{n=0}^\iy \frac{z^n}{n(n+1)} .\]

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.} 
Vrai ou faux ? On donnera pour chaque énoncé une démonstration ou bien un contre-exemple
\begin{enumerate}
\item[(a)] Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum (-1)^n a_n z^n$ ont même rayon de convergence. 
\item[(b)] Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum (-1)^n a_n z^n$ ont même domaine de convergence.
\item[(c)] Une série entière dont le rayon de convergence est $+\iy$ converge uniformément sur $\C$.
\end{enumerate}


\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
Donnez le développement en série entière de la fonction $\disp f(x) = \frac{x}{1-x-x^2}$ en utilisant la relation $x = (1-x-x^2) f(x)$.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 4.}
Soit $(a_n)$ la suite définie par récurrence par $a_0=a_1=a_2=1$, et 
\[ \forall n \geq 2, a_{n+1} = a_n - \frac{a_{n-2}}{2(n+1)} .\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est décroissante et que la suite $(na_n)$ est croissante. En déduire le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n x^n$.
\item Soit $f(x)$ la somme de cette série pour $x \in ]-R,R[$. Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle linéaire, et en déduire $f$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
Khôlle du 28 novembre 2007 \\
\Huge Sujet C \end{center}
\bigskip\bigskip

{\bf Question de cours.}
Enoncer l'inégalité de Bessel (en précisant bien les hypothèses à vérifier)


\medskip\bigskip

{\bf Exercice 1.}
 	
Calculez la somme de la série entière de terme général $u_n(x) = \frac{x^n}{n} \cos \frac{2\pi n}{3}$.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.}
Donnez le développement en série entière de la fonction $x \mapsto \ln(1+x+x^2)$.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
On suppose que les séries entières $\sum a_{2n} z^n$ et $\sum a_{2n+1} z^n$ ont pour rayons de convergence respectifs $R$ et $R'$. Déterminez le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$.

\end{document}
