Question de cours. Enoncez la propriété d’intégration d’une série de fonctions.

Exercice 1. Soit (f_{n})_{n⩾1} la suite de fonctions définie par f_{n}(x) = \frac{1}{1 + x^{n}}. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série ∑ f_{n}(x) sur ]1, +∞[, puis sur ]a, +∞[ pour a > 1.

Exercice 2. Soit (u_{n}) une suite de nombres réels convergeant vers u et (v_{n}) une suite de nombres réels positifs convergeant vers v, avec v > 0. On définit une suite de fonctions (f_{n}) sur [0, +∞[, par

f_{n}(x) = \frac{x + u_{n}}{x + v_{n}} .

Montrer que la suite (f_{n}) converge uniformément sur [0, +∞[.

Exercice 3. Soit (P_{n}) une suite de polynômes qui converge uniformément vers f sur R. Montrer que f est aussi un polynôme. Ce résultat reste-t-il vrai si on remplace R par un intervalle borné ?

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Question de cours. Enoncez la propriété de dérivation d’une série de fonctions.

Exercice 1. Soit (f_{n})_{n⩾1} la suite de fonctions définie par f_{n}(x) = \frac{x}{n^{2} + x^{2}} . Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série ∑ f_{n}(x) sur [0, +∞[, puis sur [0, a] pour a ∈ R^{+}.

Exercice 2. Calculer la limite suivante :

lim_{n→∞} ∫_{−1}^{1} \frac{n^{2}x + cos(\sqrt{n}x)}{n^{2} + x^{2}}dx

Exercice 3. Soit (f_{n}) une suite de fonctions définies sur [0, 1] telles que

1. La suite (f_{n}) converge simplement vers f.

2. Pour tout n ∈ N, la fonction f_{n} est continue sur [0, 1].

3. Pour tout x ∈ [0, 1], la suite (f_{n}(x)) est croissante.

4. f est continue. Montrer que la suite (f_{n}) converge uniformément vers f sur [0, 1].

Question de cours. Enoncez la règle d’Abel uniforme.

Exercice 1. Soit (f_{n})_{n⩾1} la suite de fonctions définie par f_{n}(x) = \frac{\sqrt{x}}{n^{2} + x^{2}} . Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série ∑ f_{n}(x) sur [0, +∞[.

Exercice 2. On considère sur I = [0, 1] les suites de fonctions (f_{n})_{n⩾1} et (g_{n})_{n⩾1} définies par

f_{n}(x) = \frac{1 + sin x}{x + 1/n}

g_{n}(x) = \frac{sin x}{x + 1/n}

1. Soit J_{n} = ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx. Montrer que la suite (J_{n})_{n⩾1} tend vers +∞.

2. Calculer la limite (notée g) de la suite (g_{n}).

3. Montrer que (g_{n}) converge uniformément vers g sur [ε, 1] pour tout ε > 0.

4. Montrer que lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} g_{n}(x)dx = ∫_{0}^{1} g(x)dx.

5. Donner un équivalent simple de la suite (J_{n}).

Exercice 3. Soit (u_{n}) une suite de fonctions continues sur [0, 1] qui vérifie les deux propriétés suivantes 1. Il existe M > 0 tel que pour tout x dans [0, 1] et pour tout entier n, on a |u_{n}(x)| ⩽ M.

2. Pour tout a dans [0, 1], la suite (u_{n}) converge uniformément vers 0 sur [a, 1]. Montrer que la suite (fu_{n}) converge uniformément vers 0 sur [0, 1].

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Question de cours. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière. Que permet-il de dire sur l’ensemble des points de convergence d’une série entière ?

Exercice 1. Soit (f_{n})_{n⩾2} la suite de fonctions définie par f_{n}(x) = \frac{cos(nx)}{n^{2} + x^{2} − 1}. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série ∑ f_{n}(x) sur R.

Exercice 2. On considère, pour n ⩾ 1, les fonctions définies sur R

f_{n}(x) = \begin{cases}1 + x^{2} sin \frac{1}{nx} & si x ≠ 0 \\ 1 & si x = 0 \end{cases}

1. Montrer que (f_{n}) est simplement convergente vers une limite f que l’on déterminera.

2. Montrer que (f_{n}) est uniformément convergente sur tout intervalle fermé borné [a, b].

3. Montrer que (f_{n}) n’est pas uniformément convergente sur R tout entier.

Exercice 3. Soit (f_{n}) une suite de fonctions continues sur R qui converge uniformément sur R vers une fonction f.

1. On suppose que f est majorée. Montrer que la suite (e^{f_{n}}) converge uniformément sur R et préciser sa limite.

2. Montrer par un contre-exemple que ce n’est plus vrai si on ne suppose pas que f est majorée.