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\newcommand{\exercice}{\medskip\par\noindent\stepcounter{numeroexo}
	\hspace{-.25cm}{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo}}}\quad}

\begin{document}

{\bf Question de cours.}
Enoncez la propriété d'intégration d'une série de fonctions.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 1.}
Soit $(f_n)_{n \geq 1}$ la suite de fonctions définie par $f_n(x) = \disp  \frac{1}{1+ x^n}$. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série $\sum f_n(x)$ sur $]1,+\iy[$, puis sur $]a,+\iy[$ pour $a >1$.


\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.}
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels convergeant vers $u$ et $(v_n)$ une suite de nombres réels positifs convergeant vers $v$, avec $v >0$. On définit une suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,+\iy[$, par
\[ f_n(x) = \frac{x +u_n}{x+v_n} .\]
Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,+\iy[$. 

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
Soit $(P_n)$ une suite de polynômes qui converge uniformément vers $f$ sur $\R$.  Montrer que $f$ est aussi un polynôme. Ce résultat reste-t-il vrai si on remplace $\R$ par un intervalle borné ?

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{\bf Question de cours.}
Enoncez la propriété de dérivation d'une série de fonctions.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 1.}
Soit $(f_n)_{n \geq 1}$ la suite de fonctions définie par $f_n(x) = \disp  \frac{x}{n^2+ x^2}$. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série $\sum f_n(x)$ sur $[0,+\iy[$, puis sur $[0,a]$ pour $a \in \R^+$.


\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.} 
Calculer la limite suivante :
\[ \lim_{n \to \iy} \int_{-1}^1 \frac{n^2 x +\cos(\sqrt{n} x)}{n^2+x^2} dx \]

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur $[0,1]$ telles que 
\begin{enumerate}
 \item La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$.
 \item Pour tout $n \in \N$, la fonction $f_n$ est continue sur $[0,1]$.
 \item Pour tout $x \in [0,1]$, la suite $(f_n(x))$ est croissante.
 \item $f$ est continue.
\end{enumerate}
Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.

\newpage

{\bf Question de cours.}
Enoncez la règle d'Abel uniforme.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 1.}
Soit $(f_n)_{n \geq 1}$ la suite de fonctions définie par $f_n(x) = \disp  \frac{\sqrt{x}}{n^2+ x^2}$. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série $\sum f_n(x)$ sur $[0,+\iy[$.

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.}
On considère sur $I=[0,1]$ les suites de fonctions $(f_n)_{n \geq 1}$ et $(g_n)_{n \geq 1}$ définies par
\[ f_n(x) = \frac{1 + \sin x}{x+1/n} \]
\[ g_n(x) = \frac{ \sin x}{x+1/n} \]
\begin{enumerate}
 \item Soit $J_n = \int_0^1 f_n(x) dx$. Montrer que la suite $(J_n)_{n \geq 1}$ tend vers $+\iy$.
 \item Calculer la limite (notée $g$) de la suite $(g_n)$.
 \item Montrer que $(g_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $[\e,1]$ pour tout $\e>0$.
 \item Montrer que $\disp \lim_{n \to \iy} \int_0^1 g_n(x) dx = \int_0^1 g(x) dx$.
 \item Donner un équivalent simple de la suite $(J_n)$.
\end{enumerate}



\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues sur $[0,1]$ qui vérifie les deux propriétés suivantes
\begin{enumerate}
 \item Il existe $M >0$ tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$ et pour tout entier $n$, on a $|u_n(x)| \leq M$.
 \item Pour tout $a$ dans $[0,1]$, la suite $(u_n)$ converge uniformément vers 0 sur $[a,1]$.
\end{enumerate}
Montrer que la suite $(fu_n)$ converge uniformément vers 0 sur $[0,1]$.

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{\bf Question de cours.}
Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière. Que permet-il de dire sur l'ensemble des points de convergence d'une série entière ?

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{\bf Exercice 1.}
Soit $(f_n)_{n \geq 2}$ la suite de fonctions définie par $f_n(x) = \disp  \frac{\cos(nx)}{n^2+ x^2-1}$. Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série $\sum f_n(x)$ sur $\R$.


\medskip\bigskip

{\bf Exercice 2.}

On considère, pour $n \geq 1$, les fonctions définies sur $\R$ 
\[ f_n(x) = \begin{cases} 1+ x^2 \sin \frac{1}{nx}  & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x=0
             \end{cases} \]
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $(f_n)$ est simplement convergente vers une limite $f$ que l'on déterminera.
 \item Montrer que $(f_n)$ est uniformément convergente sur tout intervalle fermé borné $[a,b]$.
 \item Montrer que $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $\R$ tout entier.
\end{enumerate}

\medskip\bigskip

{\bf Exercice 3.}
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $\R$ qui converge uniformément sur $\R$ vers une fonction $f$.
\begin{enumerate}
 \item On suppose que $f$ est majorée. Montrer que la suite $(e^{f_n})$ converge uniformément sur $\R$ et préciser sa limite.
 \item Montrer par un contre-exemple que ce n'est plus vrai si on ne suppose pas que $f$ est majorée.
\end{enumerate}

\end{document}