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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\noindent Sujet de kh\^olle A \hfill Mercredi 14 novembre 2007

\cours
Donner la d\'efinition de l'exponentielle complexe $\exp$, la justifier (pr\'eciser le domaine de d\'efinition), et montrer que, pour tous $z_1,z_2\in\C$, $$\exp(z_1)\exp(z_2)=\exp(z_1+z_2).$$

\ex
D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

$\ds\sum_n \ln(n) z^n$\hfill $\ds\sum_n \frac{n}{2^{3n+1}}z^{2n}$\hfill\vide

$\ds\sum_n a_n z^n$, o\`u $(a_n)_{n\geq0}$ est une suite p\'eriodique non identiquement nulle.

\ex
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite r\'eelle d\'ecroissante qui converge vers 0 et telle que $\sum_n a_n$ diverge. D\'eterminer le rayon de convergence de $\sum_n a_n z^n$. 

\ex
On consid\'ere la s\'erie enti\`ere $\sum_{n\geq 2} \frac{x^n}{(n-1)n}$. 

\begin{enumerate}
	\item Quel est son rayon de convergence $R$ ? En tout point $x$ o\`u la s\'erie converge, on pose $f(x)=\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{(n-1)n}$. 
	\item Montrer que la convergence est normale sur $[-R,R]$. 
	\item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $]-R,R[$ et calculer sa d\'eriv\'ee. 
	\item En d\'eduire une expression simple de $f$, puis la valeur de la somme suivante : $$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{(n-1)n}.$$
\end{enumerate}

\end{document}
