Sujet de khôlle B Mercredi 14 novembre 2007

Question de cours. Soit I un intervalle de ℝ contenant 0, et f une fonction de I dans ℝ. On suppose que f est développable

en série entière. Rappeler ce que ceci signifie puis donner, en la démontrant, l’expression des coefficients de ce développement.

Exercice 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} sin (\frac{ln n}{2^{n} − n}) z^{n}  ∑_{n} n!z^{n^{2}}

∑_{n} a_{n}z^{n} où (a_{n})_{n} est une suite complexe admettant une limite ℓ ≠ 0.

Exercice 2. Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de nombres complexes. On note R le rayon de convergence de la série entière

∑_{n} a_{n}z^{n}. Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes :

∑_{n} a_{n}^{p}z^{n}, où p ∈ ℕ^{∗}  ∑_{n} n^{k}a_{n}z^{n}, où k ∈ ℤ

Exercice 3. Déterminer le domaine de convergence des séries entières ∑_{n} \frac{z^{n}}{n^{2}} et ∑_{n} z^{n}.

Exercice 4. Soient (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥0} des suites complexes. On note R_{a} le rayon de convergence de ∑_{n} a_{n}z^{n} et

R_{b} celui de ∑_{n} b_{n}z^{n}.

Pour tout n, on note c_{n} = a_{n}b_{n}. Montrer que le rayon de convergence R_{c} de la série entière ∑_{n} c_{n}z^{n} vérifie :

R_{c} ≥ R_{a}R_{b}.

Montrer par des exemples qu’il peut y avoir égalité ou non.