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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\noindent Sujet de kh\^olle B \hfill Mercredi 14 novembre 2007

\cours
Soit $I$ un intervalle de $\R$ contenant $0$, et $f$ une fonction de $I$ dans $\R$. On suppose que $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere. Rappeler ce que ceci signifie puis donner, en la d\'emontrant, l'expression des coefficients de ce d\'eveloppement. 

\ex
D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

$\ds\sum_n \sin\left(\frac{\ln n}{2^n-n}\right)z^n$ \hfill $\ds\sum_n n!z^{n^2}$\hfill \vide

$\ds\sum_n a_n z^n$ o\`u $(a_n)_n$ est une suite complexe admettant une limite $\ell\neq 0$. 


\ex
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres complexes. On note $R$ le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$. D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries suivantes : 

\vide\hfill $\ds\sum_n a_n^p z^n$, o\`u $p\in\N^*$ \hfill $\ds\sum_n n^k a_n z^n$, o\`u $k\in\Z$\hfill\vide


\ex
D\'eterminer le domaine de convergence des s\'eries enti\`eres $\ds\sum_n \frac{z^n}{n^2}$ et $\ds\sum_n z^n$. 

\ex
Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ des suites complexes. On note $R_a$ le rayon de convergence de $\sum_n a_n z^n$ et $R_b$ celui de $\sum_n b_n z^n$. 

Pour tout $n$, on note $c_n=a_n b_n$. Montrer que le rayon de convergence $R_c$ de la s\'erie enti\`ere $\sum_n c_n z^n$ v\'erifie : $$R_c\geq R_a R_b.$$ Montrer par des exemples qu'il peut y avoir \'egalit\'e ou non. 

\end{document}
