Sujet de khôlle C Mercredi 14 novembre 2007

Question de cours. Soit f : I → ℝ où I est un intervalle de ℝ contenant 0. On suppose que f est indéfiniment dérivable

sur I et qu’il existe une constante M > 0 telle que, pour tout x ∈ I, pour tout n ∈ ℕ,

|f^{(n)}(x)| ≤ M.

Montrer que f est développable en série entière sur I. Donner des exemples d’application de cette propriété.

Exercice 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} \frac{1}{(1 + \sqrt{n})^{n}} z^{n}  ∑_{n} (cos \frac{1}{n})^{n^{a}} z^{n} où a ∈ ℝ

Exercice 2. Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de nombres complexes. On note R le rayon de convergence de la série entière

∑_{n} a_{n}z^{n}. On suppose R > 0. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} a_{n}z^{pn} où p ∈ ℕ^{∗}  ∑_{n} \frac{a_{n}}{n!} z^{n}.

Exercice 3. Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de réels. On suppose que la série entière ∑_{n} a_{n}x^{n} a un rayon de convergence

égal à 1 et, pour x ∈] − 1, 1[, on note f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

1. On suppose que la série ∑_{n} a_{n} converge. Montrer que ∑_{n} a_{n}x^{n} converge uniformément sur [0, 1],

et en déduire : f(x) ⟶_{x→1^{−}} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}.

2. On suppose que la série ∑_{n} a_{n} diverge et, pour tout n ≥ 0, a_{n} ≥ 0. Montrer que : f(x) ⟶_{x→1^{−}} +∞.

3. On suppose f(x) ⟶_{x→1^{−}} ℓ et, pour tout n ≥ 0, a_{n} ≥ 0. Montrer que ∑_{n} a_{n} converge et :

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ℓ.

4. Montrer par des contre-exemples que les résultats des deux dernières questions sont faux sans l’hypothèse «pour tout n ≥ 0, a_{n} ≥ 0».