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\newcommand{\cours}{\vspace{1cm}\noindent\hrulefill\par{\bf Question de cours. }\par}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\noindent Sujet de kh\^olle C \hfill Mercredi 14 novembre 2007

\cours
Soit $f:I\to \R$ o\`u $I$ est un intervalle de $\R$ contenant $0$. On suppose que $f$ est ind\'efiniment d\'erivable sur $I$ et qu'il existe une constante $M>0$ telle que, pour tout $x\in I$, pour tout $n\in\N$, 
$$|f^{(n)}(x)|\leq M.$$
Montrer que $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $I$. Donner des exemples d'application de cette propri\'et\'e. 

\ex
D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

\vide\hfill$\ds\sum_n\frac{1}{(1+\sqrt{n})^n} z^n$ \hfill $\ds\sum_n \left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^a} z^n$ o\`u $a\in\R$\hfill\vide


\ex
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres complexes. On note $R$ le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n z^n$. On suppose $R>0$. D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

\vide\hfill$\ds\sum_n a_n z^{pn}$ o\`u $p\in\N^*$\hfill $\ds\sum_n \frac{a_n}{n!} z^n$. \hfill\vide

\ex
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de r\'eels. On suppose que la s\'erie enti\`ere $\sum_n a_n x^n$ a un rayon de convergence \'egal \`a 1 et, pour $x\in]-1,1[$, on note $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$. 

\begin{enumerate}
	\item On suppose que la s\'erie $\sum_n a_n$ converge. Montrer que $\sum_n a_n x^n$ converge uniform\'ement sur $[0,1]$, et en d\'eduire : $f(x)\limite{x\to1^-}\sum\limits_{n=0}^\infty a_n.$ 
	\item On suppose que la s\'erie $\sum_n a_n$ diverge et, pour tout $n\geq0$, $a_n\geq 0$. Montrer que : $f(x)\limite{x\to1^-}+\infty.$ 
	\item On suppose $f(x)\limite{x\to1^-}\ell$ et, pour tout $n\geq 0$, $a_n\geq 0$. Montrer que $\sum_n a_n$ converge et : $$\sum_{n=0}^\infty a_n = \ell.$$ 
	\item Montrer par des contre-exemples que les r\'esultats des deux derni\`eres questions sont faux sans l'hypoth\`ese <<pour tout $n\geq0$, $a_n\geq 0$>>. 
\end{enumerate}


\end{document}
