Sujet de khôlle D Mercredi 14 novembre 2007

Question de cours. Donner le développement en série entière de z ↦ \frac{1}{1−z} et son rayon de convergence, et en déduire ceux

de z ↦ \frac{1}{1−z}, x ↦ ln(1 + x), x ↦ ln(1 − x) et arctan. Donner sans démonstration le développement en série entière de x ↦ (1 + x)^{α} où α ∈ ℝ.

Exercice 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑_{n} cosh(n)z^{n}  ∑_{n} e^{E(n\sqrt{2})}z^{n}  ∑_{n} \frac{1 · 4 · 7 ⋯ (3n − 2)}{n!}z^{5n},

où E désigne la fonction partie entière.

Exercice 2.

1. Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de nombres complexes non nuls. On suppose qu’il existe p ∈ ℕ^{∗} tel que :

\frac{|a_{n+p}|}{|a_{n}|} ⟶_{n} ℓ,

où ℓ ∈]0, +∞[. Montrer que le rayon de convergence de ∑_{n} a_{n}z^{n} est R = \frac{1}{ℓ^{1/p}}.

Indication : quel est le rayon de convergence de ∑_{n} a_{np+q}z^{n} (où q ∈ ℕ) ?

2. Soit (a_{n})_{n≥0} une suite de nombre complexes non nuls telle que :

\frac{|a_{2n+1}|}{|a_{2n}|} ⟶_{n} ℓ_{1} et \frac{|a_{2n+2}|}{|a_{2n+1}|} ⟶_{n} ℓ_{2},

où ℓ_{1}, ℓ_{2} ∈]0, +∞[. À l’aide de la question précédente, calculer le rayon de convergence de ∑_{n} a_{n}z^{n}.

Exercice 3. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière suivante :

∑_{n} (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}) z^{n}.

Indication : reconnaître le produit de deux séries entières.