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\newcommand{\cours}{\vspace{1cm}\noindent\hrulefill\par{\bf Question de cours. }\par}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\noindent Sujet de kh\^olle D \hfill Mercredi 14 novembre 2007

\cours
Donner le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $z\mapsto\frac{1}{1-z}$ et son rayon de convergence, et en d\'eduire ceux de $z\mapsto\frac{1}{1-z}$, $x\mapsto\ln(1+x)$, $x\mapsto\ln(1-x)$ et $\arctan$. Donner sans d\'emonstration le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $x\mapsto(1+x)^\alpha$ o\`u $\alpha\in\R$. 

\ex
D\'eterminer le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres suivantes : 

$\ds\sum_n \cosh(n) z^n$ \hfill $\ds\sum_n e^{\mathrm{E}(n\sqrt{2})}z^n$ \hfill $\ds\sum_n \frac{1\cdot 4\cdot 7\cdots (3n-2)}{n!} z^{5n}$, 

o\`u $\mathrm{E}$ d\'esigne la fonction partie enti\`ere. 

\ex
\begin{enumerate}
	\item Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres complexes non nuls. On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que : $$\frac{|a_{n+p}|}{|a_n|}\limite{n}\ell,$$ o\`u $\ell\in]0,+\infty[$. 
Montrer que le rayon de convergence de $\sum_n a_n z^n$ est $\ds R=\frac{1}{\ell^{1/p}}$. \\\emph{Indication : quel est le rayon de convergence de $\sum_n a_{np+q} z^n$ (o\`u $q\in\N$) ?} 
	\item Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombre complexes non nuls telle que : $$\frac{|a_{2n+1}|}{|a_{2n}|}\limite{n} \ell_1\mbox{ et }\frac{|a_{2n+2}|}{|a_{2n+1}|}\limite{n} \ell_2,$$
o\`u $\ell_1,\ell_2\in]0,+\infty[$. \`A l'aide de la question pr\'ec\'edente, calculer le rayon de convergence de $\sum_n a_n z^n$. 
\end{enumerate}


\ex
D\'eterminer le rayon de convergence et la somme de la s\'erie enti\`ere suivante : $$\sum_n \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)z^n.$$
\emph{Indication : reconna\^itre le produit de deux s\'eries enti\`eres.}


\end{document}
