ENS Lyon Algèbre approfondie M1 2008-2009

Feuille 10

Exercice 1 — Soit k un corps et soit f ∈ k[X] un polynôme séparable. On rappelle que le groupe de Galois Gal(f) de f est le groupe de Galois d’une extension de décomposition k′/k de f.

(i) Démontrer que f est irréductible si et seulement si Gal(f) opère transitivement sur l’ensemble R des racines de f dans k′.

(ii) On suppose k de caractéristique distincte de 2. Démontrer que Gal(f) opère par permutations paires de R si et seulement si le discriminant de f ^{(1)} est un carré dans k. [(iii)] Si k = ℚ et si f ∈ ℚ[X] un polynôme irréductible admettant au moins une racine réelle et une racine non réelle, démontrer que le groupe Gal(f) n’est pas abélien.

Exercice 2 (Polynômes de degré 3) — Dans cet exercice, k est un corps de caractéristique différente de 2 et 3.

Soit f = X^{3} + pX + q ∈ k[X] un polynôme séparable et soient x_{1},x_{2},x_{3} les trois racines de f dans une extension de décomposition K/k. On adjoint à K une racine cubique primitive de l’unité ρ.

(i) Vérifier le discriminant de f est δ = −27q^{2}− 4p^{3}. Quelles sont les possibilités pour Gal(f) ?

(ii) Justifier que l’extension K(ρ)/k(\sqrt{δ},ρ) est cyclique. On pose

α = x_{1}+ ρx_{2}+ ρ^{2}β et β = x_{1}+ ρ^{2}x_{2}+ ρ^{2}x_{3}.

Calculer α^{3} et β^{3} en observant que

(x_{1}− x_{2})(x_{2}− x_{3})(x_{1}− x_{3}) = (x_{1}^{2}x_{2}+ x_{2}^{2}x_{3}+ x_{3}^{2}x_{1}) − (x_{1}^{2}x_{3}+ x_{2}^{2}x_{1}+ x_{3}^{2}x_{2}).

(iii) Exprimer x_{1},x_{2} et x_{3} en fonction de α et β.

(iv) Vérifier que l’on a αβ = −3p. En déduire que l’une des racines de f s’écrit sous la forme u + v avec uv = −p/3 puis vérifier que u^{3} et v^{3} sont les racines d’un polynôme de degré 2.

Exercice 3 (Polynômes de degré 4) — Dans cet exercice, k est un corps de caractéristique différente de 2 et 3.

1) Soit f = X^{4} + pX^{2} + qX + r ∈ k[X] un polynôme séparable et soient x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} ses racines dans une extension de décomposition K/k. On désigne par V le sous-groupe de 𝔖_{4} constitué des quatre éléments 1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) et (1,4)(2,3) (Viergruppe de Klein).

(i) On pose

α = (x_{1}+ x_{2})(x_{3}+ x_{4}), β = (x_{1}+ x_{3})(x_{2}+ x_{4}) et γ = (x_{1}+ x_{4})(x_{2}+ x_{3}).

Vérifier que ces trois éléments de K sont distincts et que 𝔖_{4} opère transitivement sur {α,β,γ}. En déduire que k(α,β,γ) est une extension galoisienne de k, de groupe Gal(f)/Gal(f) ∩ V.

(ii) La résolvante cubique de f est le polynôme g = (X − α)(X − β)(X − γ). Déterminer ses coefficients

en fonction de ceux de f et vérifier que f et g ont le même discriminant. (iii) Vérifier que x_{1}+ x_{2} (resp. x_{1}+ x_{3} ; resp. x_{1}+ x_{4}) est une racine carrée de −α (resp. de −β ; resp. de

−γ) puis que l’on (x_{1}+ x_{2})(x_{1}+ x_{3})(x_{1}+ x_{4}) = −q. Conclure.

2) On désigne par C_{4} le sous-groupe cyclique de 𝔖_{4} engendré par (1,2,3,4) et par D_{4} le sous-groupe engendré par (1,2,3,4) et (1,3).

disc(f) = a_{n}^{2n−2} D(−a_{n−1} /a_{n},a_{n−2} /a_{n},...,(−1)^{n}a_{0}/a_{n}),

(1)Écrivant f sous la forme a_{n}X^{n}+ a_{n−1} X^{n−1} + ...+ a_{0} avec a_{n} ≠ 0, on rappelle que le discriminant de f est défini par l’identité où D(Σ_{1},...,Σ_{n}) est le polynôme ∏ _{1⩽i<j⩽n} (X_{i}− X_{j})^{2} exprimé en fonction des polynômes symétriques élémentaires.

(i) Démontrer que tout sous-groupe transitif de 𝔖_{4} d’ordre divisible par 4 est conjugué à l’un des sous-

groupes suivants :

𝔖_{4}, 𝔄_{4}, V, D_{4}, C_{4}.

(ii) Déterminer (G : V ∩ G) pour chacun des sous-groupes précédents.

4) Déterminer le groupe de Galois de chacun des polynômes suivants de ℚ[X] :

X^{4}− 4X + 2, X^{4}+ 4X^{2}+ 2, X^{4}− 10X^{2}+ 4, X^{4}− 2.

Exercice 4 — Soit p un nombre premier impair et soit ξ une racine primitive p-ème de l’unité dans ℂ. On pose G = Gal(ℚ(ξ)|ℚ) et on désigne par H le sous-groupe de G d’indice 2.

(i) Démontrer que le sous-corps de ℚ(ξ) fixé par H est le corps de décomposition du polynôme X^{2}+ X +

αβ, où

α = ∑_{σ∈H} σ(ξ) et β = ∑_{σ∈G−H} σ(ξ).

(ii) Vérifier que l’on a 1 − 4αβ = τ^{2}, où

τ = ∑_{a∈𝔽_{p}^{×}} ( \frac{a}{p}) ξ^{a}.

En déduire que le sous-corps fixé par H est ℚ(\sqrt{p}) si p ≡ 1 (mod4), de ℚ(\sqrt{−p} ) si p ≡ 3 (mod4). (iii) Démontrer que toute extension quadratique de ℚ est contenue dans une extension cyclotomique^{(2)}.

Exercice 5 (Un théorème de Galois) — Galois a démontré qu’une équation est résoluble par radicaux si et seulement si toute racine s’exprime K-rationnellement en fonction de deux quelconques d’entre-elles.

1. Vérifier que l’ensemble 𝔅_{p} des permutations de ℤ/pℤ de la forme x ↦ ax+b, a,b ∈ ℤ/pℤ, est un sousgroupe transitif et résoluble de 𝔖(ℤ/pℤ) d’ordre p(p − 1). Vérifier également qu’un élément x ↦ ax + b de 𝔅_{p} est d’ordre p si et seulement si a = 1 et b ≠ 0.

2. Soit réciproquement G un sous-groupe transitif et résoluble du groupe symétrique 𝔖(ℤ/pℤ). On considère une suite de composition

(1) = G_{0}⊲ G_{1}⊲ ...⊲ G_{r} = G

de G à quotients cycliques d’ordre premier.

(i) Démontrer que chacun des groupes G_{1},...,G_{r} opère transitivement sur ℤ/pℤ; en déduire que G_{1} est engendré par une permutation circulaire τ.

(ii) Vérifier qu’il existe une permutation σ ∈ 𝔖(ℤ/pℤ) telle que σG_{2}σ^{−1} ⊂ 𝔅_{p}. (iii) En raisonnant par récurrence sur r, démontrer que G_{1} est un sous-groupe distingué de G et en déduire

que σGσ^{−1} est un sous-groupe de 𝔅_{p}.

Soit K un corps, soit P ∈ K[T] un polynôme irréductible de degré premier p et soit L un corps de décomposition de P ; on identifie le groupe de Galois de l’extension L/K à un sous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble des racines de P dans L.

3. Supposons qu’il existe deux racines distinctes α, β de P dans L telles que L = K(α,β).

(i) Vérifier que [L : K] ≤ p(p − 1). (ii) Vérifier que le groupe Gal(L/K) contient une permutation circulaire d’ordre p puis que deux telles

permutations engendrent le même sous-groupe.

(iii) Démontrer que le groupe Gal(L/K) est résoluble.

4. Supposons réciproquement que le groupe Gal(L/K) soit résoluble. Démontrer que l’on a L = K(α,β) pour toutes racines distinctes α, β de P dans L.

(2)Plus généralement, toute extension galoisienne de ℚ à groupe de Galois abélien est contenue dans ℚ (théorème de Kronecker-Weber)