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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}


\vspace{0.5cm}
\begin{center} \textbf{\scshape Feuille 10}
\end{center}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $k$ un corps et soit $f \in k[\X]$ un polyn\^ome s\'eparable. On rappelle que le groupe de Galois ${\rm Gal}(f)$ de $f$ est le groupe de Galois d'une extension de d\'ecomposition $k'/k$ de $f$.

\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que $f$ est irr\'eductible si et seulement si ${\rm Gal}(f)$ op\`ere transitivement sur l'ensemble $\mathcal{R}$ des racines de $f$ dans $k'$. \item[(ii)] On suppose $k$ de caract\'eristique distincte de $2$. D\'emontrer que ${\rm Gal}(f)$ op\`ere par permutations paires de $\mathcal{R}$ si et seulement si le discriminant de $f$ \footnote{\'Ecrivant $f$ sous la forme $a_n \X^n + a_{n-1} \X^{n-1} + \ldots + a_0$ avec $a_n \neq 0$, on rappelle que le discriminant de $f$ est d\'efini par l'identit\'e $${\rm disc}(f) = a_n^{2n-2}\D(-a_{n-1}/a_n, a_{n-2}/a_n, \ldots, (-1)^n a_0/a_n),$$ o\`u $\D(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)$ est le polyn\^ome $\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (\X_i - \X_j)^2$ exprim\'e en fonction des polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires.} est un carr\'e dans $k$. \item[(iii)] Si $k = \mathbb{Q}$ et si $f \in \mathbb{Q}[\X]$ un polyn\^ome irr\'eductible admettant au moins une racine r\'eelle et une racine non r\'eelle, d\'emontrer que le groupe ${\rm Gal}(f)$ n'est pas ab\'elien.
\end{itemize}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Polyn\^omes de degr\'e 3}) --- Dans cet exercice, $k$ est un corps de caract\'eristique diff\'erente de $2$ et $3$.

\vspace{0.1cm} Soit $f = \X^3 + p\X + q \in k[\X]$ un polyn\^ome s\'eparable et soient $x_1, x_2, x_3$ les trois racines de $f$ dans une extension de d\'ecomposition $\K/k$. On adjoint \`a $\K$ une racine cubique primitive de l'unit\'e $\rho$.

\begin{itemize}
\item[(i)] V\'erifier le discriminant de $f$ est $\delta = -27q^2 - 4p^3$. Quelles sont les possibilit\'es pour ${\rm Gal}(f)$?
\item[(ii)] Justifier que l'extension $\K(\rho)/k(\sqrt{\delta},\rho)$ est cyclique. On pose $$\alpha = x_1 + \rho x_2 + \rho^2 \beta \ \ \textrm{ et } \ \ \beta = x_1 + \rho^2 x_2 + \rho^2 x_3.$$ Calculer $\alpha^3$ et $\beta^3$ en observant que $$(x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_1 - x_3) = (x_1^2x_2 + x_2^2 x_3 + x_3^2 x_1) - (x_1^2x_3 + x_2^2 x_1 + x_3^2 x_2).$$
\item[(iii)] Exprimer $x_1, x_2$ et $x_3$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$.
\item[(iv)] V\'erifier que l'on a $\alpha \beta = -3p$. En d\'eduire que l'une des racines de $f$ s'\'ecrit sous la forme $u+v$ avec $uv = - p/3$ puis v\'erifier que $u^3$ et $v^3$ sont les racines d'un polyn\^ome de degr\'e $2$.
\end{itemize}

\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Polyn\^omes de degr\'e 4}) --- Dans cet exercice, $k$ est un corps de caract\'eristique diff\'erente de $2$ et $3$. 

\vspace{0.1cm} 1) Soit $f = \X^4 + p\X^2 + q\X + r \in k[\X]$ un polyn\^ome s\'eparable et soient $x_1, x_2, x_3, x_4$ ses racines dans une extension de d\'ecomposition $\K/k$. On d\'esigne par $\V$ le sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$ constitu\'e des quatre \'el\'ements $1$, $(1,2)(3,4)$, $(1,3)(2,4)$ et $(1,4)(2,3)$ (\emph{Viergruppe} de Klein).

\begin{itemize} \item[(i)] On pose $$\alpha = (x_1+x_2)(x_3+x_4), \ \ \beta = (x_1 +x_3)(x_2+x_4) \ \ \textrm{ et } \ \ \gamma = (x_1+x_4)(x_2+x_3).$$ V\'erifier que ces trois \'el\'ements de $\K$ sont distincts et que $\mathfrak{S}_4$ op\`ere transitivement sur $\{\alpha, \beta, \gamma\}$. En d\'eduire que $k(\alpha, \beta, \gamma)$ est une extension galoisienne de $k$, de groupe ${\rm Gal}(f)/{\rm Gal}(f) \cap \V$.
\item[(ii)] La \emph{r\'esolvante cubique} de $f$ est le polyn\^ome $g = (\X - \alpha)(\X - \beta)(\X - \gamma)$. D\'eterminer ses coefficients en fonction de ceux de $f$ et v\'erifier que $f$ et $g$ ont le m\^eme discriminant.
\item[(iii)] V\'erifier que $x_1+x_2$ (resp. $x_1+x_3$ ; resp. $x_1 + x_4$) est une racine carr\'ee de $-\alpha$ (resp. de $-\beta$ ; resp. de $-\gamma$) puis que l'on $(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4) = -q$. Conclure.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} 2) On d\'esigne par $\C_4$ le sous-groupe cyclique de $\mathfrak{S}_4$ engendr\'e par $(1,2,3,4)$ et par $\D_4$ le sous-groupe engendr\'e par $(1,2,3,4)$ et $(1,3)$. 

\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que tout sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_4$ d'ordre divisible par $4$ est conjugu\'e \`a l'un des sous-groupes suivants :
$$\mathfrak{S}_4, \ \mathfrak{A}_4, \ \V, \ \D_4, \ \C_4.$$
\item[(ii)] D\'eterminer $(\G : \V \cap \G)$ pour chacun des sous-groupes pr\'ec\'edents.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} 4) D\'eterminer le groupe de Galois de chacun des polyn\^omes suivants de $\mathbb{Q}[\X]$ : $$\X^4 - 4\X + 2, \ \  \X^4 + 4\X^2 +2, \ \ \X^4 -10\X^2 + 4, \ \  \X^4 - 2.$$

\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- Soit $p$ un nombre premier impair et soit $\xi$ une racine primitive $p$-\`eme de l'unit\'e dans $\mathbb{C}$. On pose $\G = {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\xi)|\mathbb{Q})$ et on d\'esigne par $\Hr$ le sous-groupe de $\G$ d'indice $2$.

\vspace{0.2cm} \begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que le sous-corps de $\mathbb{Q}(\xi)$ fix\'e par $\Hr$ est le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\X^2 + \X + \alpha \beta$, o\`u $$\alpha = \sum_{\sigma \in \Hr} \sigma(\xi) \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \beta = \sum_{\sigma \in \G - \Hr} \sigma(\xi).$$ 
\item[(ii)] V\'erifier que l'on a $1 - 4 \alpha \beta = \tau^2$, o\`u $$\tau = \sum_{a \in \mathbb{F}_p^{\times}} \left(\frac{a}{p}\right) \xi^a.$$ En d\'eduire que le sous-corps fix\'e par $\Hr$ est $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ si $p \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4)$, de $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ si $p \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$.
\item[(iii)] D\'emontrer que toute extension quadratique de $\mathbb{Q}$ est contenue dans une extension cyclotomique \footnote{Plus g\'en\'eralement, toute extension galoisienne de $\mathbb{Q}$ \`a groupe de Galois \emph{ab\'elien} est contenue dans une extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$ (th\'eor\`eme de Kronecker-Weber)}. \end{itemize}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Un th\'eor\`eme de Galois}) --- Galois a d\'emontr\'e qu'une \'equation est r\'esoluble par radicaux si et seulement si toute racine s'exprime $\K$-rationnellement en fonction de deux quelconques d'entre-elles.

\vspace{0.1cm} 1. V\'erifier que l'ensemble $\mathfrak{B}_p$ des permutations de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de la forme $x \mapsto ax+b$, $a, b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, est un sous-groupe transitif et r\'esoluble de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ d'ordre $p(p-1)$. V\'erifier \'egalement qu'un \'el\'ement $x \mapsto ax+b$ de $\mathfrak{B}_p$ est d'ordre $p$ si et seulement si $a = 1$ et $b \neq 0$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit r\'eciproquement $\G$ un sous-groupe transitif et r\'esoluble du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. On consid\`ere une suite de composition $$(1) = \G_0 \lhd \G_1 \lhd \ldots \lhd \G_r=\G$$ de $\G$ \`a quotients cycliques d'ordre premier.  \\
\vspace{0.1cm} \indent (i) D\'emontrer que chacun des groupes $\G_1, \ldots, \G_r$ op\`ere transitivement sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ; en d\'eduire que $\G_1$ est engendr\'e par une permutation circulaire $\tau$. \\
\vspace{0.1cm} \indent (ii) V\'erifier qu'il existe une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ telle que $\sigma \G_2 \sigma^{-1} \subset \mathfrak{B}_p$. \\
\vspace{0.1cm} \indent (iii) En raisonnant par r\'ecurrence sur $r$, d\'emontrer que $\G_1$ est un sous-groupe distingu\'e de $\G$ et en d\'eduire que $\sigma\G \sigma^{-1}$ est un sous-groupe de $\mathfrak{B}_p$.

\vspace{0.1cm} Soit $\K$ un corps, soit $\rP \in \K[\T]$ un polyn\^ome irr\'eductible de degr\'e premier $p$ et soit $\Lr$ un corps de d\'ecomposition de $\rP$ ; on identifie le groupe de Galois de l'extension $\Lr/\K$ \`a un sous-groupe du groupe des permutations de l'ensemble des racines de $\rP$ dans $\Lr$.

\vspace{0.1cm} 3. Supposons qu'il existe deux racines distinctes $\alpha, \ \beta$ de $\rP$ dans $\Lr$ telles que $\Lr = \K(\alpha, \beta)$. \\
\indent (i) V\'erifier que $[\Lr : \K] \leq p(p-1)$. \\
\indent (ii) V\'erifier que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ contient une permutation circulaire d'ordre $p$ puis que deux telles permutations engendrent le m\^eme sous-groupe. \\
\indent (iii) D\'emontrer que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est r\'esoluble.

\vspace{0.1cm} 4. Supposons r\'eciproquement que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ soit r\'esoluble. D\'emontrer que l'on a $\Lr = \K(\alpha, \beta)$ pour toutes racines distinctes $\alpha, \ \beta$ de $\rP$ dans $\Lr$.

\newpage
\end{document}
