ENS Lyon Algèbre approfondie M1 2008-2009

Feuille 4

Exercice 1 — Soit A un anneau et soit M un A-module de type fini. Pour tout idéal premier 𝔭 de A, on pose M(𝔭) = M ⊗_{A}κ(𝔭).

On rappelle qu’une fonction réelle f sur un espace topologique X est semi-continue supérieurement si, pour tout nombre réel λ, f^{−1} (] − ∞,λ[) est une partie ouverte de X.

(i) Vérifier que, pour tout 𝔭 ∈ Spec(A), le κ(𝔭)-espace vectoriel M(𝔭) est de dimension finie. (ii) Démontrer que la fonction

d_{M} : Spec(A) → ℤ, 𝔭 ↦ dim_{κ(𝔭)}M(𝔭)

est semi-continue supérieurement.

Exercice 2 — Une partie C d’un espace topologique X est dite constructible si C est une réunion finie de parties localement fermées.

1. Soit k un corps. Déterminer l’image de l’application Spec(k[u,v]) → Spec(k[x,y,z]) associée à l’homomorphisme canonique

k[x,y,z] → k[u,v], (x,y,z) ↦ (u,uv,0)

et vérifier qu’il s’agit d’une partie constructible de Spec(k[x,y,z]).

2. (Principe de récurrence noethérienne.) Soit X un espace topologique noethérien, c’est-à-dire tel que toute suite décroissante de fermés soit stationnaire. Considérons une propriété P des fermés de X et supposons qu’un fermé Y vérifie P lorsque tel est la cas pour tous ses fermés stricts. Démontrer que tous les fermés de X vérifient P.

3. Soit A un anneau noethérien et soit φ : A → B un homomorphisme d’anneaux faisant de B une A-algèbre de type fini. Les questions suivantes conduisent à la démonstration du théorème suivant de C. Chevalley : l’image de l’application ^{a}φ est une partie constructible de Spec(A).

(i) Justifier que l’on peut se ramener au cas où les anneaux A, B sont intègres et l’homomorphisme φ injectif.

(ii) Démontrer que l’image de l’application ^{a}φ contient un ouvert non vide de Spec(A). (Indication : appliquer le lemme de normalisation de Noether à la fibre de^{a}φ au-dessus du point générique de Spec(A).)

(iii) Conclure en utilisant le principe de récurrence noethérienne (question 2).

Exercice 3 — Soit A un anneau noethérien. Démontrer qu’il existe une suite croissante d’idéaux

(0) = ℑ_{0} ⊂ ℑ_{1} ⊂ ... ⊂ ℑ_{n} = A

telle que, pour tout k ∈ {0,...,n − 1}, le A-module ℑ_{k+1}/ℑ_{k} soit isomorphe au quotient de A par un idéal premier. (Indication : étant donné un A-module M, démontrer que l’ensemble

{ann(x) | x ∈ M, x ≠ 0}

possède un élément maximal 𝔭 puis vérifier que l’idéal 𝔭 est premier.)

Exercice 4 — Un anneau A est dit artinien si toute chaîne décroissante d’idéaux est stationnaire.

1. Démontrer qu’un anneau artinien intègre est un corps. (Indication : étant donné a ∈ A, considérer la suite d’idéaux (a^{n})_{n∈ℕ}.) En déduire que tout idéal premier d’un anneau artinien est maximal.

2. Étant donnée une suite (𝔪_{n})_{n∈ℕ} d’idéaux maximaux de A, démontrer qu’il existe un entier n_{0} tel que 𝔪_{1}...𝔪_{n_{0}} = 𝔪_{1}...𝔪_{n} ⊂ 𝔪_{n} pour tout n ⩾ n_{0}. En déduire que le spectre de A est fini.

3. Soit 𝔑 le nilradical de A.

(a) Montrer qu’il existe un nombre entier s ⩾ 1 tel que 𝔑^{s+1} = 𝔑^{s}.

(b) Si 𝔑^{s} ≠ (0), justifier qu’il existe un idéal ℑ de A tel que ℑ𝔑^{s} ≠ (0) et minimal pour cette propriété.

(c) Montrer que l’idéal ℑ est principal, engendré par un élément a que l’on peut écrire sous la forme a = az avec z ∈ 𝔑. En déduire a = 0 et conclure que l’on a 𝔑^{s} = (0).

4. Étant donné un idéal maximal 𝔪 de A, démontrer qu’il existe un élément de A−𝔪 appartenant à chaque idéal maximal 𝔫 de A distinct de 𝔪. En déduire que l’homomorphisme canonique

A → ∏_{𝔪∈Spec(A)} A_{𝔪}

est un isomorphisme.

Exercice 5 — Un A-module M est dit simple s’il ne possède pas d’autre sous-module que (0) et M ; on dit que M est de longueur finie s’il existe une suite de composition de sous-modules (0) = M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ ... ⊂ M_{n} = M à quotients simples.

Démontrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes (théorème d’Akizuki).

(i) L’anneau A est noethérien et de dimension 0.

(ii) Le A-module A est de longueur finie.

(iii) L’anneau A est artinien. (Indications. L’implication (i) ⟹ (ii) se déduit directement de l’exercice 3. Les implications (ii) ⟹ (iii) et (ii) ⟹ (i) sont faciles. Enfin, l’implication (iii) ⟹ (ii) se déduit aisément des résultats de l’exercice 4 en considèrant la suite de composition

(0) = 𝔑^{s} ⊂ 𝔑^{s−1} ⊂ ... ⊂ 𝔑 ⊂ A

et en observant que les quotients successifs sont des modules de longueur finie sur A/𝔑 ≃ ∏ _{𝔪∈Spec(A)} A/𝔪.)

Exercice 6 — Soit X un espace topologique. La dimension (ou dimension de Krull) de X est la borne supérieure des longueurs des chaînes de fermés irréductibles de X. Par ailleurs, étant donné un point x ∈ X, on pose

dim_{x}(X) = inf_{U}dim(U),

où U parcourt l’ensemble des voisinages ouverts de x dans X.

(i) Démontrer que l’on a dim(Y) ⩽ dim(X) pour toute partie Y de X.

(ii) Démontrer que l’on a dim(X) = sup_{x∈X}dim_{x}(X).

(iii) Si X est un espace de Kolmogoroff noethérien, démontrer qu’un point x de X est isolé si et seulement si dim_{x}(X) = 0. (Indication : considérer une composante irréductible de X contenant x.)

(iv) Démontrer que la fonction X → ℝ ∪ {−∞,∞}, x ↦ dim_{x}(X), est semi-continue supérieurement.