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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}


\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{\scshape Feuille 4}
\end{center}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $\A$ un anneau et soit $\M$ un $\A$-module de type fini. Pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, on pose $\M(\mathfrak{p}) = \M \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$.

\vspace{0.1cm} On rappelle qu'une fonction r\'eelle $f$ sur un espace topologique $\X$ est \emph{semi-continue sup\'erieurement} si, pour tout nombre r\'eel $\lambda$, $f^{-1}(]-\infty, \lambda[)$ est une partie ouverte de $\X$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] V\'erifier que, pour tout $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(\A)$, le $\kappa(\mathfrak{p})$-espace vectoriel $\M(\mathfrak{p})$ est de dimension finie.
\item[(ii)] D\'emontrer que la fonction $${\rm d}_{\M} : \mathrm{Spec}(\A) \rightarrow \mathbb{Z}, \ \ \mathfrak{p} \mapsto {\rm dim}_{\kappa(\mathfrak{p})} \M(\mathfrak{p})$$ est semi-continue sup\'erieurement.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Une partie $\C$ d'un espace topologique $\X$ est dite \emph{constructible} si $\C$ est une r\'eunion finie de parties localement ferm\'ees.

\vspace{0.2cm} 1. Soit $k$ un corps. D\'eterminer l'image de l'application $\mathrm{Spec}(k[u,v]) \rightarrow \mathrm{Spec}(k[x,y,z])$ associ\'ee \`a l'homomorphisme canonique $$k[x,y,z] \rightarrow k[u,v], \ \ (x,y,z) \mapsto (u,uv,0)$$ et v\'erifier qu'il s'agit d'une partie constructible de $\mathrm{Spec}(k[x,y,z])$.

\vspace{0.2cm} 2. (\emph{Principe de r\'ecurrence noeth\'erienne}.) Soit $\X$ un espace topologique \emph{noeth\'erien}, c'est-\`a-dire tel que toute suite d\'ecroissante de ferm\'es soit stationnaire. Consid\'erons une propri\'et\'e $\mathbf{P}$ des ferm\'es de $\X$ et supposons qu'un ferm\'e $\Y$ v\'erifie $\mathbf{P}$ lorsque tel est la cas pour tous ses ferm\'es stricts. D\'emontrer que tous les ferm\'es de $\X$ v\'erifient $\mathbf{P}$.

\vspace{0.2cm} 3. Soit $\A$ un anneau noeth\'erien et soit $\varphi : \A \rightarrow \B$ un homomorphisme d'anneaux faisant de $\B$ une $\A$-alg\`ebre de type fini. Les questions suivantes conduisent \`a la d\'emonstration du th\'eor\`eme suivant de C. \textsc{Chevalley} : \emph{l'image de l'application $^{a}\varphi$ est une partie constructible de $\mathrm{Spec}(\A)$}.

\begin{itemize}
\item[(i)] Justifier que l'on peut se ramener au cas o\`u les anneaux $\A$, $\B$ sont int\`egres et l'homomorphisme $\varphi$ injectif.
\item[(ii)] D\'emontrer que l'image de l'application $^{a}\varphi$ contient un ouvert non vide de $\mathrm{Spec}(\A)$. (\emph{Indication} : appliquer le lemme de normalisation de Noether \`a la fibre de $^{a}\varphi$ au-dessus du point g\'en\'erique de $\mathrm{Spec}(\A)$.)
\item[(iii)] Conclure en utilisant le principe de r\'ecurrence noeth\'erienne (question 2).
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- Soit $\A$ un anneau noeth\'erien. D\'emontrer qu'il existe une suite croissante d'id\'eaux $$(0) = \mathfrak{I}_0 \subset \mathfrak{I}_1 \subset \ldots \subset \mathfrak{I}_n = \A$$ telle que, pour tout $k \in \{0,\ldots, n-1\}$, le $\A$-module $\mathfrak{I}_{k+1}/\mathfrak{I}_k$ soit isomorphe au quotient de $\A$ par un id\'eal premier.

\vspace{0.1cm} \noindent (\emph{Indication} : \'etant donn\'e un $\A$-module $\M$, d\'emontrer que l'ensemble $$\{\mathrm{ann}(x) \ | \ x \in \M, \ x \neq 0\}$$ poss\`ede un \'el\'ement maximal $\mathfrak{p}$ puis v\'erifier que l'id\'eal $\mathfrak{p}$ est premier.)

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- Un anneau $\A$ est dit \emph{artinien} si toute cha\^{\i}ne d\'ecroissante d'id\'eaux est stationnaire.

\vspace{0.2cm} 1. D\'emontrer qu'un anneau artinien int\`egre est un corps. (\emph{Indication} : \'etant donn\'e $a \in \A$, consid\'erer la suite d'id\'eaux $(a^n)_{n \in \mathbb{N}}$.) En d\'eduire que tout id\'eal premier d'un anneau artinien est maximal.

\vspace{0.2cm} 2. \'Etant donn\'ee une suite $(\mathfrak{m}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'id\'eaux maximaux de $\A$, d\'emontrer qu'il existe un entier $n_{0}$ tel que $\mathfrak{m}_1 \ldots \mathfrak{m}_{n_0} = \mathfrak{m}_1 \ldots \mathfrak{m}_n \subset \mathfrak{m}_n$ pour tout $n \geqslant n_0$. En d\'eduire que le spectre de $\A$ est fini. 

\vspace{0.2cm} 3. Soit $\mathfrak{N}$ le nilradical de $\A$. \begin{itemize} \item[(a)] Montrer qu'il existe un nombre entier $s \geqslant 1$ tel que $\mathfrak{N}^{s+1} = \mathfrak{N}^{s}$. \item[(b)] Si $\mathfrak{N}^s \neq (0)$, justifier qu'il existe un id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$ tel que $\mathfrak{I}\mathfrak{N}^s \neq (0)$ et minimal pour cette propri\'et\'e. \item[(c)] Montrer que l'id\'eal $\mathfrak{I}$ est principal, engendr\'e par un \'el\'ement $a$ que l'on peut \'ecrire sous la forme $a = az$ avec $z \in \mathfrak{N}$. En d\'eduire $a = 0$ et conclure que l'on a $\mathfrak{N}^s = (0)$. \end{itemize}

\vspace{0.2cm} 4. \'Etant donn\'e un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, d\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement de $\A - \mathfrak{m}$ appartenant \`a chaque id\'eal maximal $\mathfrak{n}$ de $\A$ distinct de $\mathfrak{m}$. En d\'eduire que l'homomorphisme canonique $$\A \rightarrow \prod_{\mathfrak{m} \in \mathrm{Spec}(\A)} \A_{\mathfrak{m}}$$ est un isomorphisme.

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- Un $\A$-module $\M$ est dit \emph{simple} s'il ne poss\`ede pas d'autre sous-module que $(0)$ et $\M$ ; on dit que $\M$ est de \emph{longueur finie} s'il existe une suite de composition de sous-modules $(0)=\M_0 \subset \M_1 \subset \ldots \subset \M_n = \M$ \`a quotients simples.

\vspace{0.2cm}  D\'emontrer que les trois conditions suivantes sont \'equivalentes (th\'eor\`eme d'\textsc{Akizuki}). \begin{itemize} \item[(i)] L'anneau $\A$ est  noeth\'erien et de dimension $0$. \item[(ii)] Le $\A$-module $\A$ est de longueur finie. \item[(iii)] L'anneau $\A$ est artinien.\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent (\emph{Indications}. L'implication (i) $\Longrightarrow$ (ii) se d\'eduit directement de l'exercice 3. Les implications (ii) $\Longrightarrow$ (iii) et (ii) $\Longrightarrow$ (i) sont faciles. Enfin, l'implication (iii) $\Longrightarrow$ (ii) se d\'eduit ais\'ement des r\'esultats de l'exercice 4 en consid\`erant la suite de composition $$(0) = \mathfrak{N}^s \subset \mathfrak{N}^{s-1} \subset \ldots \subset \mathfrak{N} \subset \A$$ et en observant que les quotients successifs sont des modules de longueur finie sur $\A/\mathfrak{N} \simeq \prod_{\mathfrak{m} \in \mathrm{Spec}(\A)} \A/\mathfrak{m}$.)

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- Soit $\X$ un espace topologique. La \emph{dimension} (ou \emph{dimension de Krull}) de $\X$ est la borne sup\'erieure des longueurs des cha\^{\i}nes de ferm\'es irr\'eductibles de $\X$. Par ailleurs, \'etant donn\'e un point $x \in \X$, on pose $${\rm dim}_x(\X) = \inf_{\U} {\rm dim}(\U),$$ o\`u $\U$ parcourt l'ensemble des voisinages ouverts de $x$ dans $\X$.

\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que l'on a ${\rm dim}(\Y) \leqslant {\rm dim}(\X)$ pour toute partie $\Y$ de $\X$.
\item[(ii)] D\'emontrer que l'on a ${\rm dim}(\X) = \sup_{x \in \X} {\rm dim}_x(\X).$ 
\item[(iii)] Si $\X$ est un espace de Kolmogoroff noeth\'erien, d\'emontrer qu'un point $x$ de $\X$ est isol\'e si et seulement si ${\rm dim}_x(\X) = 0$. (\emph{Indication} : consid\'erer une composante irr\'eductible de $\X$ contenant $x$.)
\item[(iv)] D\'emontrer que la fonction $\X \rightarrow \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}, \ \ x \mapsto {\rm dim}_x(\X),$ est semi-continue sup\'erieurement.\end{itemize}

\newpage
%\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- Cet exercice pr\'esente l'exemple de \textsc{Nagata} d'un anneau noeth\'erien de dimension infinie.

%\vspace{0.2cm} 1. Supposons qu'un anneau $\A$ satisfasse aux deux conditions suivantes : \begin{itemize} \item pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$, $\A_{\mathfrak{m}}$ est un anneau noeth\'erien ; \item chaque \'el\'ement non nul de $\A$ n'est contenu que dans un nombre fini d'id\'eaux maximaux.\end{itemize}

%\vspace{0.1cm} D\'emontrer que l'anneau $\A$ est noeth\'erien (observer que tout id\'eal propre et non nul de $\A$ n'est contenu que dans un nombre fini d'id\'eaux maximaux).

%\vspace{0.2cm} 2. Consid\'erons un corps $k$ et posons $\R = k[(\T_n)_{n \in \mathbb{N}}]$. Ayant choisit une application strictement croissante $d : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, on d\'efinit une suite $(\mathfrak{p}_n)_{n \geqslant 0}$ d'id\'eaux premiers deux \`a deux disjoints de $\R$ en posant $$\mathfrak{p}_{n} = (\T_{d(n)+1}, \T_{d(n)+2}, \ldots, \T_{d(n+1)}).$$

%\vspace{0.1cm} On d\'esigne par $\Sr$ la partie multiplicative $\R - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathfrak{p}_n$ et on pose $\A = \Sr^{-1}\R$.

%\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
%\item[(i)] D\'emontrer que tout id\'eal de $\R$ contenu dans la r\'eunion des $\mathfrak{p}_n$ est n\'ecessairement contenu dans l'un d'eux. En d\'eduire que les id\'eaux maximaux de $\A$ sont pr\'ecis\'ement les $\mathfrak{p}_n\A$.
%\item[(ii)] \'Etablir que l'anneau $\A$ satisfait aux deux conditions de la question 1) et donc qu'il s'agit d'un anneau noeth\'erien.
%\item[(iii)] V\'erifier que l'on a ${\rm dim}(\A_{\mathfrak{p}_n}) = d(n+1) - d(n)$ pour tout $n$. En conclure qu'il existe un anneau noeth\'erien de dimension infinie.
%\end{itemize}

\end{document}
